Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Definitionsabfrage

Definition:Gleichmächtigkeit von Mengen

Zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

gibt.

Definition:Endliche Menge

Eine Menge ${}M$ heißt endlich mit ${}n$ Elementen, wenn es eine Bijektion

$\{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$

gibt.

Definition:Abzählbar

Eine Menge ${}M$ heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow M$

gibt.

Definition:Abzählbar unendlich

Eine Menge ${}M$ heißt abzählbar unendlich, wenn sie abzählbar, aber nicht endlich ist.

Definition:Mengensystem

Zu einer Menge ${}M$ heißt eine Teilmenge  ${}{\mathcal {A}}\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)$  der Potenzmenge ein (Teil)-Mengensystem auf ${}M$.

Definition:Mengen-Algebra

Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist  ${}M\in {\mathcal {A}}$. 
2. Mit  ${}T\in {\mathcal {A}}$  gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
3. Für je zwei Mengen  ${}S,T\in {\mathcal {A}}$  ist auch  ${}S\cup T\in {\mathcal {A}}$. 

Definition:${}\sigma$-Algebra

Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt ${}\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist  ${}M\in {\mathcal {A}}$. 
2. Mit  ${}T\in {\mathcal {A}}$  gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, ist auch

   ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}\,.$

Definition:Messraum

Eine Menge ${}M$, auf der eine ${}\sigma$- Algebra ${}{\mathcal {A}}$ erklärt ist, heißt ein Messraum.

Definition:Erzeugte Sigmaalgebra

Es sei ${}M$ eine Menge und  ${}{\mathcal {E}}\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)$  eine Menge von Teilmengen aus ${}M$. Dann nennt man die kleinste ${}\sigma$- Algebra, die ${}{\mathcal {E}}$ enthält, die von ${}{\mathcal {E}}$ erzeugte ${}\sigma$-Algebra. Sie wird mit ${}\sigma ({\mathcal {E}})$ bezeichnet. Das System ${}{\mathcal {E}}$ heißt Erzeugendensystem dieser ${}\sigma$-Algebra.

Definition:Dynkin-System

Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist  ${}M\in {\mathcal {A}}$. 
2. Mit  ${}S,T\in {\mathcal {A}}$  und  ${}S\subseteq T$  gehört auch ${}T\setminus S$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, mit paarweise disjunkten Mengen ${}T_{i}$ ist auch

   ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}\,.$

Definition:Mengen-Präring

Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Mengen-Präring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist  ${}\emptyset \in {\mathcal {A}}$. 
2. Mit  ${}S,T\in {\mathcal {A}}$  gehört auch ${}S\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
3. Für je zwei Mengen  ${}S,T\in {\mathcal {A}}$  ist auch  ${}S\cup T\in {\mathcal {A}}$. 

Definition:Messbare Abbildung

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$ Messräume. Eine Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

heißt messbar (oder genauer ${}{\mathcal {A}}-{\mathcal {B}}$-messbar), wenn für alle  ${}T\in {\mathcal {B}}$  das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ zu ${}{\mathcal {A}}$ gehört.

Definition:Topologie

Es sei ${}X$ eine Menge. Eine Familie ${}{\mathcal {T}}$ von Teilmengen von ${}X$ heißt Topologie auf ${}X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:

1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und ${}X\in {\mathcal {T}}$.
2. Sind ${}U\in {\mathcal {T}}$ und ${}V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch  ${}U\cap V\in {\mathcal {T}}$. 
3. Ist ${}I$ eine Indexmenge und  ${}U_{i}\in {\mathcal {T}}$  für alle  ${}i\in I$,  so ist auch  ${}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$. 

Ein topologischer Raum ist ein Paar ${}(X,{\mathcal {T}})$, wobei ${}X$ eine Menge und ${}{\mathcal {T}}$ eine Topologie auf ${}X$ ist.

Definition:Hausdorffsch

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten  ${}x,y\in X$  offene Mengen ${}U$ und ${}V$ mit  ${}x\in U$,   ${}y\in V$  und mit  ${}U\cap V=\emptyset$  gibt.

Definition:Basis einer Topologie

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Ein System ${}{\mathcal {C}}$ von offenen Mengen in ${}X$ heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in ${}{\mathcal {T}}$ als Vereinigung von offenen Mengen aus ${}{\mathcal {C}}$ erhalten kann.

Definition:Topologie mit abzählbarer Basis

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Man sagt, dass ${}X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.

Definition:Stetig

Eine Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen wieder offen sind.

Definition:Homöomorphe Räume

Zwei topologische Räume ${}X$ und ${}Y$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

gibt, deren Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ ebenfalls stetig ist.

Definition:Unterraumtopologie

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und  ${}Y\subseteq X$  eine Teilmenge. Folgende Vorschrift definiert eine Topologie ${}{\mathcal {T}}_{Y}$ auf ${}Y$: Für eine Teilmenge  ${}U\subseteq Y$  gilt  ${}U\in {\mathcal {T}}_{Y}$  genau dann, wenn es eine in ${}X$ offene Menge  ${}V\in {\mathcal {T}}$  derart gibt, dass  ${}V\cap Y=U$  gilt.

Definition:Borel-Mengen

Es sei ${}(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${}{\mathcal {T}}$ erzeugte ${}\sigma$- Algebra die Menge der Borel-Mengen von ${}M$.

Definition:Prämaß

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {P}}$ ein Mengen-Präring auf ${}M$. Dann heißt eine Abbildung

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$

ein Prämaß auf ${}M$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen ${}T_{i}$, ${}i\in I$, aus ${}{\mathcal {P}}$, für die ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${}{\mathcal {P}}$ gehört, gilt

${}\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,.$

Definition:Maß

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {A}}$ eine ${}\sigma$- Algebra auf ${}M$. Ein Prämaß auf ${}M$ nennt man ein Maß.

Definition:Maßraum

Eine Menge ${}M$, auf der eine ${}\sigma$- Algebra ${}{\mathcal {A}}$ und ein Maß

$\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$

erklärt ist, heißt ein Maßraum. Man schreibt dafür kurz ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.

Definition:Wahrscheinlichkeitsraum

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ mit ${}\mu (M)=1$.

Definition:Zählmaß

Auf einer Menge ${}M$ nennt man das auf ${}(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch

${}z(T)={\begin{cases}{\#\left(T\right)}\,,{\text{ falls }}T{\text{ endlich}}\,,\\\infty {\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definierte Maß das Zählmaß auf ${}M$.

Definition:Dirac-Maß

Es sei ${}M$ eine Menge und  ${}x\in M$  ein Punkt. Das auf ${}(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch

${}\delta _{x}(T)={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}x\in T\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definierte Maß heißt das im Punkt ${}x$ konzentrierte Dirac-Maß auf ${}M$.

Definition:Gittermaß

Es sei  ${}\epsilon >0$  Die Menge

${}\Gamma _{\epsilon }={\left\{\epsilon (a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

nennt man das Gitter zum Gitterpunktabstand ${}\epsilon$. Das durch

${}\mu _{\epsilon }(T)=\epsilon ^{n}\cdot {\#\left(T\cap \Gamma _{\epsilon }\right)}\,$

für  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  definierte Maß heißt das Gittermaß zum Gitterabstand ${}\epsilon$.

Definition:Ausschöpfung

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Folge von Teilmengen in ${}M$ mit  ${}T_{n}\subseteq T_{n+1}$  für alle  ${}n\in \mathbb {N}$.  Es sei  ${}T=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$.  Dann sagt man, dass diese Folge eine Ausschöpfung von ${}T$ bildet (oder ${}T$ ausschöpft), und schreibt dafür ${}T_{n}\uparrow T$.

Definition:Schrumpfung

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Folge von Teilmengen in ${}M$ mit  ${}T_{n}\supseteq T_{n+1}$  für alle  ${}n\in \mathbb {N}$.  Es sei  ${}T=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$.  Dann sagt man, dass diese Folge eine Schrumpfung von ${}T$ bildet (oder gegen ${}T$ schrumpft), und schreibt dafür ${}T_{n}\downarrow T$.

Definition:Endliches Prämaß

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$,

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein Prämaß auf ${}M$. Dann heißt ${}\mu$ endlich, wenn

${}\mu (T)<\infty \,$

für alle  ${}T\in {\mathcal {P}}$  ist.

Definition:${}\sigma$-endliches Prämaß

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$,

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein Prämaß auf ${}M$. Dann heißt ${}\mu$ ${}\sigma$-endlich, wenn man ${}M$ als eine abzählbare Vereinigung von Teilmengen ${}M_{i}$ aus ${}{\mathcal {P}}$ mit

${}\mu (M_{i})<\infty \,$

schreiben kann.

Definition:Bildmaß

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, ${}(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine messbare Abbildung. Dann nennt man das durch

${}\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$

definierte Maß auf ${}N$ das Bildmaß von ${}\mu$ unter ${}\varphi$. Es wird mit ${}\varphi _{*}\mu$ bezeichnet.

Definition:Maßtreue Abbildung

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ Maßräume. Eine messbare Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

heißt maßtreu, wenn für jede messbare Menge  ${}T\subseteq N$  die Beziehung

${}\nu (T)=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$

gilt.

Definition:Produktraum

Unter dem Produkt der topologischen Räume ${}X$ und ${}Y$ versteht man die Produktmenge ${}X\times Y$ zusammen mit derjenigen Topologie (genannt Produkttopologie), bei der eine Teilmenge  ${}W\subseteq X\times Y$  genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form ${}U\times V$ mit offenen Mengen  ${}U\subseteq X$  und  ${}V\subseteq Y$  schreiben kann.

Definition:Äußeres Maß

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$. Dann heißt eine Abbildung

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$

ein äußeres Maß auf ${}M$, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. Für je zwei Mengen ${}S,T\in {\mathcal {P}}$ mit ${}S\subseteq T$ gilt  ${}\mu (S)\leq \mu (T)$. 
2. Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen ${}T_{i}$, ${}i\in I$, aus ${}{\mathcal {P}}$, für die ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${}{\mathcal {P}}$ gehört, gilt

   ${}\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}\mu {\left(T_{i}\right)}\,.$

Definition:Fortsetzung eines äußeren Maßes

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ und

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein äußeres Maß auf ${}M$. Für eine beliebige Teilmenge  ${}T\subseteq M$  definiert man

${\tilde {\mu }}(T):=\inf {\left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i}),\,T\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i},\,T_{i}\in {\mathcal {P}},\,I{\text{ abzählbar}}\right)}\,$

und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes ${}\mu$.

Definition:Zerlegungseigenschaft (äußeres Maß)

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$,

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein äußeres Maß auf ${}M$ und ${}{\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von ${}\mu$ auf die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$. Man sagt, dass eine Teilmenge  ${}Z\subseteq M$  die Zerlegungseigenschaft besitzt, wenn für alle  ${}S\subseteq M$  die Gleichheit  ${}{\tilde {\mu }}(S)={\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z))$  gilt.

Definition:Produkt-${}\sigma$-Algebra

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten ${}\sigma$- Algebren. Dann nennt man die von allen Quadern

$S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$

auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ erzeugte ${}\sigma$- Algebra die Produkt-${}\sigma$-Algebra der ${}(M_{i},{\mathcal {A}}_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$. Sie wird mit ${}{\mathcal {A}}_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\mathcal {A}}_{n}$ bezeichnet.

Definition:Produkt-Präring

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {P}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen. Dann nennt man den von allen Quadern

$S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {P}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$

erzeugten Präring den Produkt-Präring der ${}(M_{i},{\mathcal {P}}_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$.

Definition:Produkt-Maß

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$ ${}\sigma$- endliche Maßräume. Dann nennt man das in Lemma 5.3 und Satz 5.4 konstruierte Maß das Produktmaß auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$. Es wird mit ${}\mu _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\mu _{n}$ bezeichnet.

Definition:Eindimensionales Borel-Lebesgue-Maß

Das eindeutig bestimmte Maß  ${}\lambda ^{1}=\lambda$  auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, das für jedes halboffene Intervall ${}[a,b[$ den Wert  ${}\lambda ([a,b[)=b-a$  besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.

Definition:Das Borel-Lebesgue-Maß

Das eindeutig bestimmte Maß  ${}\lambda =\lambda ^{n}$  auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das für jeden Quader der Form  ${}Q=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$  den Wert  ${}\lambda (Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})$  besitzt, heißt Borel-Lebesgue-Maß auf ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Definition:Translationsinvariantes Maß

Ein Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und alle Vektoren ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit

${}\mu (T)=\mu (T+v)\,$

gilt.

Definition:Erzeugtes Parallelotop

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und seien linear unabhängige Vektoren  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$  gegeben. Dann nennt man

${}P={\left\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$

das von den ${}v_{i}$ erzeugte Parallelotop.

Definition:Messbare numerische Funktion

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Dann nennt man eine numerische Funktion

$M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

messbar, wenn sie ${}{\mathcal {A}}-{\overline {\mathcal {B}}}$-messbar ist.

Definition:Positiver Teil

Zu einer Funktion

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

nennt man  ${}f_{+}={\operatorname {sup} \,{\left(f,0\right)}}$  den positiven Teil und  ${}f_{-}=-\inf {\left(f,\,0\right)}={\operatorname {sup} \,{\left(-f,0\right)}}$  den negativen Teil von ${}f$.

Definition:Einfache Funktion

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Eine messbare numerische Funktion

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

heißt einfach, wenn sie nur endlich viele Werte besitzt.

Definition:Sigma-einfache Funktion

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Eine messbare numerische Funktion

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

heißt ${}\sigma$-einfach, wenn sie nur abzählbar viele Werte besitzt.

Definition:Subgraph

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine nichtnegative Funktion. Dann nennt man die Menge

${}S(f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}\,$

den Subgraphen der Funktion.

Definition:Lebesgue-Integral

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

${}\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$

das Integral von ${}f$ über ${}M$ (zum Maß ${}\mu$).

Definition:Integrierbare Funktion

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare numerische Funktion. Dann heißt ${}f$ integrierbar, wenn die beiden Integrale ${}\int _{M}f_{+}\,d\mu$ und ${}\int _{M}f_{-}\,d\mu$ endlich sind. In diesem Fall nennt man

${}\int _{M}f\,d\mu =\int _{M}f_{+}\,d\mu -\int _{M}f_{-}\,d\mu \,$

das Integral von ${}f$.

Definition:Limes superior

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen und es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte dieser Folge. Dann setzt man

${}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\inf \,{\left(H\right)}\,$

und

${}\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\operatorname {sup} \,{\left(H\right)}}\,$

und nennt diese Zahlen den Limes inferior bzw. den Limes superior der Folge. (Wenn es keinen Häufungspunkt gibt, so ist dies als ${}\infty$ bzw. als ${}-\infty$ zu interpretieren).

Definition:Rotationsmenge

Zu einer Teilmenge  ${}T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$  nennt man

${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}$

die zugehörige Rotationsmenge (um die ${}x$-Achse).

Definition:Kegel über einer Basis

Es sei  ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times 0$  und  ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$  ein Punkt. Dann nennt man die Menge

${}K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,$

den Kegel zur Basis ${}B$ mit der Spitze ${}P$.

Definition:Maß zu einer Dichte

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und es sei

$g\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine nichtnegative messbare Funktion. Dann nennt man das für jede messbare Teilmenge  ${}T\subseteq M$  durch

${}\nu (T):=\int _{T}g\,d\mu \,$

definierte Maß auf ${}M$ das Maß zur Dichte ${}g$. Es wird mit ${}g\mu$ bezeichnet.

Definition:Halbmetrik

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Halbmetrik, wenn für alle  ${}x,y,z\in M$  die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Für  ${}x=y$  ist  ${}d{\left(x,y\right)}=0$. 
2.  ${}d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$  (Symmetrie), und
3.  ${}d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$  (Dreiecksungleichung).

Definition:Offene Menge in einem Raum mit einer Halbmetrik

Es sei ${}M$ eine Menge mit einer Halbmetrik ${}d$. Eine Teilmenge  ${}U\subseteq M$  heißt offen, wenn für jedes  ${}x\in U$  ein  ${}\epsilon >0$  mit

${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$

existiert.

Definition:Halbnorm

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum. Eine Abbildung

$\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

heißt Halbnorm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle  ${}v,w\in V$  gelten.

1. Es ist  ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$  für alle  ${}v\in V$. 
2. Es ist  ${}\Vert {0}\Vert =0$. 
3. Für  ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$  und  ${}v\in V$  gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für  ${}v,w\in V$  gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

Definition:Halbmetrik in Vektorraum mit Halbnorm

Auf einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit einer Halbnorm ${}\Vert {-}\Vert$ definiert man die zugehörige Halbmetrik durch

${}d(v,w):=\Vert {v-w}\Vert \,.$

Definition:Topologischer Vektorraum

Ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ heißt topologischer Vektorraum, wenn auf ihm eine Topologie derart festgelegt ist, dass sowohl die Addition

$+\colon V\times V\longrightarrow V$

als auch die Skalarmultiplikation

$\cdot \colon {\mathbb {K} }\times V\longrightarrow V$

stetig sind.

Definition:Separabler Raum

Ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum heißt separabel, wenn seine Topologie eine abzählbare Basis besitzt.

Definition:Banachraum

Ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Banachraum.

Definition:p-integrierbare Funktion

Es sei  ${}p\geq 1$  eine reelle Zahl und ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Eine messbare Funktion

$f\colon X\longrightarrow {\mathbb {K} }$

heißt ${}p$-integrierbar, wenn ${}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu$ endlich ist.

Definition:p-Halbnorm

Es sei  ${}p\geq 1$  eine reelle Zahl und ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Zu einer ${}p$- integrierbaren Funktion nennt man

${}\Vert {f}\Vert _{p}:={\left(\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu \right)}^{1/p}\,$

die ${}p$-Norm von ${}f$.

Definition:${}L^{p}$ -Raum

Zu einem Maßraum ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ und einer reellen Zahl  ${}p\geq 1$  definiert man die ${}L^{p}$-Räume durch

${}L^{p}(X):={\mathcal {L}}^{p}(X)/{\mathcal {N}}\,.$

Definition:Kompakt (Überdeckungskompakt)

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

$X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}I$

eine endliche Teilmenge  ${}J\subseteq I$  derart gibt, dass

${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$

ist.

Definition:Total beschränkt

Ein metrischer Raum ${}M$ heißt total beschränkt, wenn es zu jedem  ${}\epsilon >0$  endlich viele Punkte  ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in M$  derart gibt, dass

${}M=\bigcup _{i=1}^{n}U{\left(x_{i},\epsilon \right)}\,$

gilt.

Definition:Gleichgradig stetig

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}Z$ ein metrischer Raum und sei  ${}T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,Z\right)}$  eine Menge von Abbildungen von ${}X$ nach ${}Z$. Man nennt ${}T$ gleichgradig stetig in einem Punkt  ${}x\in X$,  wenn es zu jedem  ${}\epsilon >0$  eine offene Umgebung  ${}x\in U\subseteq X$  derart gibt, dass für alle  ${}x'\in U$  und alle  ${}f\in T$  gilt

${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon \,.$

Man nennt ${}T$ gleichgradig stetig, wenn ${}T$ gleichgradig stetig in jedem Punkt  ${}x\in X$  ist.

Definition:Trennende Funktionenmenge

Es sei ${}X$ eine Menge und sei  ${}T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,{\mathbb {K} }\right)}$  eine Menge von auf ${}X$ definierten ${}{\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen. Man sagt, dass ${}T$ die Punkte von ${}X$ trennt, wenn es zu je zwei Punkten  ${}x,y\in X$  eine Funktion  ${}f\in T$  mit  ${}f(x)\neq f(y)$  gibt.

Definition:Hilbertraum

Ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Hilbertraum.

Definition:Konvexe Teilmenge

Eine Teilmenge  ${}T\subseteq V$  in einem reellen Vektorraum ${}V$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten  ${}P,Q\in T$  auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

$rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],$

ebenfalls zu ${}T$ gehört.

Definition:Orthogonale Projektion

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und sei  ${}U\subseteq V$  ein vollständiger Untervektorraum. Die Abbildung ${}p_{U}\colon V\rightarrow U$, die jedem Element  ${}v\in V$  das  ${}u\in U$  aus der nach Korollar 21.8 eindeutigen Zerlegung  ${}v=u+w$  mit  ${}u\in U$  und  ${}w\in U^{\perp }$  zuordnet, heißt orthogonale Projektion auf ${}U$.

Definition:Orthonormalsystem

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Eine Familie von Vektoren ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von ${}V$ heißt Orthonormalsystem, wenn

$\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für alle }}i\in I{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

gilt.

Definition:Hilbertbasis

Ein Orthonormalsystem ${}v_{i}$, ${}i\in I$, in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt heißt vollständig oder eine Hilbertbasis, wenn der von den ${}v_{i}$ erzeugte Untervektorraum dicht in ${}V$ ist.

Definition:Fourierentwicklung

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Hilbertraum und sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein vollständiges Orthonormalsystem. Dann nennt man zu  ${}v\in V$  die Darstellung

${}v=\sum _{i\in I}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}\,$

die Fourierentwicklung von ${}v$ und die rechte Seite eine Fouriersumme. Die Koeffizienten ${}\left\langle v,v_{i}\right\rangle$ heißen Fourierkoeffizienten.

Definition:Komplexer Fourierkoeffizient

Es sei  ${}T>0$  und sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf ${}[0,T]$ quadratintegrierbare ${}T$- periodische Funktion. Dann nennt man (zu ${}n\in \mathbb {Z}$)

${}c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{T}}nt}dt\,$

den ${}n$-ten (komplexen) Fourierkoeffizienten.

Definition:Reeller Fourierkoeffizient

Es sei  ${}T>0$  und sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf ${}[0,T]$ quadratintegrierbare ${}T$- periodische Funktion. Dann nennt man (zu ${}n\in \mathbb {N}$ bzw. ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ für die ${}b$-Koeffizienten)

${}a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt\,$

und

${}b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt\,$

die ${}n$-ten (reellen) Fourierkoeffizienten.

Definition:Bernoulli-Polynom

Die Bernoulli-Polynome ${}B_{n}$ für  ${}n\in \mathbb {N}$  sind Polynome vom Grad ${}n$, die rekursiv definiert werden: ${}B_{0}$ ist das konstante Polynom mit dem Wert ${}1$ und Polynom ${}B_{n+1}$ ist durch die beiden Bedingungen festgelegt: ${}B_{n+1}$ ist eine Stammfunktion von ${}(n+1)B_{n}$ und es ist

${}\int _{0}^{1}B_{n+1}(x)dx=0\,.$

Definition:Legendre-Polynom

Unter dem ${}n$-ten Legendre-Polynom ${}P_{n}(t)$ versteht man das Polynom

${\frac {1}{2^{n}(n!)}}((t^{2}-1)^{n})^{(n)}.$

Definition:Tschebyschow-Polynom

Unter dem ${}n$-ten Tschebyschow-Polynom versteht man das Polynom

${}T_{n}(t)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}t^{n-2k}(t^{2}-1)^{k}\,.$

Definition:Fourier-Transformation

Zu einer integrierbaren Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$ nennt man die Funktion

${\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} },$

die durch

${}{\hat {f}}({\mathfrak {u}}):={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\,$

definiert ist, die Fourier-Transformation von ${}f$.

Definition:Fourier-Transformation

Zu einer integrierbaren Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$ nennt man die Funktion

${\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} },$

die durch

${}{\hat {f}}({\mathfrak {u}}):={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\,$

definiert ist, die Fourier-Transformation von ${}f$.