Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 1/latex
\setcounter{section}{1}
In diesem Kurs beschäftigen wir uns mit dem \anfuehrung{Flächeninhalt}{} von ebenen Gebilden und den Volumina von räumlichen Gebilden. Für ein Rechteck setzt man den Inhalt als Produkt der beiden Seiten und für einen Quader als Produkt von Breite, Länge und Höhe an. Die durch den Graphen einer stetigen Funktion, die $x$-Achse und zwei dazu senkrechte Geraden eingeschlossene Fläche wird über das Riemann-Integral ein Inhalt zugeordnet. Die Berechnung der Flächeninhalte von Dreiecken, Parallelogrammen, des Kreises, der Volumina von Pyramiden, Kegeln und der Kugel sind klassische Themen der Mathematik. Eine intuitive Vorstellung, die die Existenz eines sinnvollen Volumenbegriffs nahelegt, ist, dass wenn man den Körper \anfuehrung{wasserdicht}{} in eine Flüssigkeit in einem quaderförmigen Becken ganz untertaucht, dass dann das Volumen sich als Grundfläche des Beckens mal gestiegenem Waserstand errechnet. Für Flächen kann man sich vorstellen, dass man die ebenen Figuren ausmalt und der Flächeninhalt proportional zur verwendeten Farbe sein muss, die ihrerseits wiederum proportional zum Höhenschwund im Farbeimer ist. Doch das sind nur Gedankenexperimente, die einen sinnvollen Maßbegriff erahnen lassen, keinesfalls zufriedenstellende Begründungen.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Assorted_polygons.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Assorted polygons.svg } {} {CountingPine} {Commons} {PD} {}
Wir werden im Folgenden die \stichwort {Maßtheorie} {} einschließlich der Integrationstheorie entwickeln. Dabei werden insbesondere folgende Fragestellungen betrachten. \auflistungfuenf{Was ist ein Maß \zusatzklammer {eine Länge, ein Flächeninhalt, ein Volumen} {} {?} }{Welchen Mengen kann man ein Maß zuordnen? Allen Teilmengen des $\R^2$? }{Welches Volumen hat der $\R^n$? }{Welche Rechenregeln gelten für das Volumen? }{Welche Möglichkeiten gibt es, Volumina zu berechnen? } Die ersten beiden Fragen erweisen sich schon dann als nicht trivial, wenn man ein Rechteck betrachtet. Macht es beispielsweise einen Unterschied, ob man ein Rechteck mit oder ohne den Rand betrachtet? Ändert sich der Inhalt, wenn ich einen Punkt aus dem Inneren herausnehme? Besitzt das \anfuehrung{rationale Rechteck}{,} das nur aus den Punkten des Rechtecks mit rationalen Koordinaten besteht, einen sinnvollen Flächeninhalt? Wie sieht es mit dem \anfuehrung{irrationalen Rechteck}{} aus? Ist die Summe dieser beiden Flächeninhalte, vorausgesetzt, dass sie existieren, gleich dem Rechtecksinhalt?
\zwischenueberschrift{Mengensysteme}
Es ist nicht möglich, für beliebige Teilmengen des
\mathl{\R^n}{} ein sinnvolles Maß zu definieren. Stattdessen sucht man nach einer möglichst großen Auswahl von Teilmengen, für die ein Maß definiert werden kann. Um über solche Mengensysteme und ihre strukturellen Eigenschaften reden zu können, brauchen wir die folgenden Definitionen.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer Menge $M$ heißt eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal A }
}
{ \subseteq }{ \mathfrak {P} \, (M )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
ein
\zusatzklammer {Teil} {} {-}\definitionswort {Men\-gensystem}{} auf $M$.
}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Teilmengensystem}{}{}
${\mathcal A }$ auf einer Menge $M$ heißt \definitionswort {Men\-gen-Präring}{,} wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \emptyset
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört auch
\mathl{S \setminus T}{} zu ${\mathcal A }$.
}{Für je zwei Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S \cup T
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Teilmengensystem}{}{}
\mathl{{\mathcal A }}{} auf einer Menge $M$ heißt \definitionswort {Men\-gen-Algebra}{,} wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört auch das
\definitionsverweis {Komplement}{}{}
\mathl{M \setminus T}{} zu ${\mathcal A }$.
}{Für je zwei Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S \cup T
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
Statt Mengenalgebra sagt man auch \stichwort {Mengenring} {,} doch ist das missverständlich, da auch die Mengen-Präringe manchmal Mengenringe genannt werden.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal C }$ das \definitionsverweis {Mengensystem}{}{} auf $M$, das aus allen endlichen Teilmengen von $M$ und deren \definitionsverweis {Komplementen}{}{} besteht. Dann ist ${\mathcal C }$ eine \definitionsverweis {Mengenalgebra}{}{.} Die ganze Menge ist das Komplement der leeren Menge und gehört somit dazu. Das System ist nach Definition unter Komplementbildung abgeschlossen. Die Vereinigung zweier endlicher Teilmengen ist wieder endlich, und die Vereinigung einer Menge, deren Komplement endlich ist, mit einer weiteren Menge \zusatzklammer {egal, ob sie zu dem System gehört oder nicht} {} {} besitzt ebenfalls diese Eigenschaft.
}
Für die Maßtheorie ist das folgende Konzept am wichtigsten.
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Teilmengensystem}{}{}
\mathl{{\mathcal A }}{} auf einer Menge $M$ heißt \definitionswortpraemath {\sigma}{ Algebra }{,} wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört auch das
\definitionsverweis {Komplement}{}{}
\mathl{M \setminus T}{} zu ${\mathcal A }$.
}{Für jede
\definitionsverweis {abzählbare Familie}{}{}
\mathbed {T_i \in {\mathcal A }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcup_{i \in I} T_i
}
{ \in} { {\mathcal A }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
Eine $\sigma$-Algebra ist also eine Mengenalgebra, die nicht nur unter endlichen Vereinigungen, sondern auch unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist. Sie ist im Allgemeinen nicht unter beliebigen Vereinigungen abgeschlossen. Die trivialen Beispiele für eine $\sigma$-Algebra sind die
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
und das Mengensystem
\mathl{\{\emptyset, M\}}{.} Die Elemente aus der $\sigma$-Algebra, also die Teilmengen von $M$, die zu ${\mathcal A }$ gehören, nennt man auch einfach \stichwort {messbare Mengen} {.} Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie spricht man von \stichwort {Ereignissen} {.} Zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die aus
\mathl{\emptyset, A, M \setminus A,M}{} bestehende $\sigma$-Algebra die \stichwort {Ereignisalgebra} {} zu $A$.
\inputdefinition
{}
{
Eine Menge $M$, auf der eine $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} ${\mathcal A }$ erklärt ist, heißt ein \definitionswort {Messraum}{.}
}
{Sigmaalgebra/Einfache Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${\mathcal A }$ eine
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
auf einer Menge $M$.}
\faktfolgerung {Dann gelten folgende Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \emptyset
}
{ \in }{{\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört auch
\mathl{T \setminus S}{} zu ${\mathcal A }$.
}{Für jede \definitionsverweis {abzählbare Familie}{}{}
\mathbed {T_i \in {\mathcal A }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ist auch
\mathdisp {\bigcap_{i \in I} T_i \in {\mathcal A }} { . }
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 1.11. }
\inputbemerkung
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{}
und es sei
\mathbed {A_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {messbaren Teilmengen}{}{.}
Dann sind auch die Mengen
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} { \left( \bigcup_{k \geq n } A_k \right) }} { }
und
\mathdisp {\bigcup_{n \in \N} { \left( \bigcap_{k \geq n} A_k \right) }} { }
messbar, da in beiden Fällen die inneren Mengen messbar sind und damit auch die Gesamtmenge messbar ist. Die erste Menge nennt man auch den \stichwort {Limes superior} {} und die zweite den \stichwort {Limes inferior} {} der Mengenfolge. Die erste Menge besteht dabei aus allen Elementen aus $M$, die in unendlich vielen der $A_n$ enthalten sind, und die zweite Menge aus allen Elementen aus $M$, die in
\definitionsverweis {fast allen}{}{}
der $A_n$ enthalten sind.
}
{Sigma-Algebren/Durchschnitt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine Menge und sei
\mathbed {{\mathcal A }_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine beliebige Familie von
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
auf $M$.}
\faktfolgerung {Dann ist auch der Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal A }
}
{ =} { \bigcap_{j \in J} {\mathcal A }_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine $\sigma$-Algebra auf $M$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 1.16. }
Aufgrund dieses Lemmas gibt es zu jeder Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal E }
}
{ \subseteq }{ \mathfrak {P} \, (M )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine kleinste $\sigma$-Algebra, die ${\mathcal E }$ umfasst, nämlich der Durchschnitt über alle ${\mathcal E }$-umfassenden $\sigma$-Algebren.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal E }
}
{ \subseteq }{ \mathfrak {P} \, (M )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Menge von Teilmengen aus $M$. Dann nennt man die kleinste
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
die ${\mathcal E }$ enthält, die von ${\mathcal E }$ \definitionswort {erzeugte $\sigma$-Algebra}{.} Sie wird mit $\sigma( {\mathcal E } )$ bezeichnet. Das System ${\mathcal E }$ heißt \definitionswort {Erzeugendensystem}{} dieser $\sigma$-Algebra.
}
Eine explizite Beschreibung dieser Mengen ist häufig schwierig. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal E }
}
{ = }{ \{A\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{\sigma({\mathcal E } )}{} die oben erwähnte Ereignisalgebra.
Die folgenden Mengensysteme spielen in Beweisen eine wichtige Rolle.
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Teilmengensystem}{}{}
${\mathcal A }$ auf einer Menge $M$ heißt \definitionswort {Dynkin-System}{,} wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört auch
\mathl{T \setminus S}{} zu ${\mathcal A }$.
}{Für jede
\definitionsverweis {abzählbare Familie}{}{}
\mathbed {T_i \in {\mathcal A }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
mit paarweise disjunkten Mengen $T_i$ ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcup_{i \in I} T_i
}
{ \in} { {\mathcal A }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{Mengensystem/Durchschnittsstabiles Dynkin-System und Sigmaalgebra/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine Menge. Für ein
\definitionsverweis {Mengensystem}{}{} ${\mathcal A }$ auf $M$ sind äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {${\mathcal A }$ ist ein
\definitionsverweis {durchschnittsstabiles}{}{}
\definitionsverweis {Dynkin-System}{}{}
} {${\mathcal A }$ ist eine $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 1.20. }
Da der Durchschnitt von Dynkin-Systemen wieder ein Dynkin-System ist, gibt es zu jedem Mengensystem ein davon \stichwort {erzeugtes Dynkin-System} {.}
\inputfaktbeweis
{Mengensystem/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem/Sigmaalgebra und Dynkin-System/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine Menge und}
\faktvoraussetzung {${\mathcal E }$ ein
\definitionsverweis {durchschnittsstabiles Mengensystem}{}{}
auf $M$.}
\faktfolgerung {Dann stimmt das von ${\mathcal E }$
\definitionsverweis {erzeugte Dynkin-System}{}{}
mit der von ${\mathcal E }$
\definitionsverweis {erzeugten}{}{}
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
überein.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir müssen zeigen, dass das von ${\mathcal E }$
\definitionsverweis {erzeugte Dynkin-System}{}{}
${\mathcal D }$ eine
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} ist. Dazu genügt es aufgrund von
Lemma 1.12
zu zeigen, dass ${\mathcal D }$ durchschnittsstabil ist. Zu einer Teilmenge
\mathbed {T\subseteq M} {mit}
{T \in {\mathcal D }} {}
{} {} {} {}
betrachten wir das Mengensystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal D }_T
}
{ =} { { \left\{ S \in {\mathcal D } \mid T \cap S \in {\mathcal D } \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir müssen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal D }_T
}
{ =} { {\mathcal D }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zeigen, denn dies bedeutet die Durchschnittsstabilität. Eine direkte Überlegung zeigt, dass ${\mathcal D }_T$ ebenfalls ein Dynkin-System ist. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \in }{ {\mathcal E }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal E }
}
{ \subseteq }{ {\mathcal D }_E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da ${\mathcal E }$ durchschnittsstabil ist. Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal D }_E
}
{ = }{ {\mathcal D }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \in }{ {\mathcal E }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist aber auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal E }
}
{ \subseteq }{ {\mathcal D }_T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \in }{ {\mathcal D }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit generell
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal D }_T
}
{ = }{ {\mathcal D }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Messbare Abbildungen}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A })} {und} {(N, {\mathcal B })} {}
\definitionsverweis {Messräume}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
heißt \definitionswort {messbar}{}
\zusatzklammer {oder genauer
\mathl{{\mathcal A }-{\mathcal B }}{-}\definitionswort {messbar}{}} {} {,}
wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \in }{ {\mathcal B }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(T)}{} zu ${\mathcal A }$ gehört.
}
{Messräume/Messbare Abbildungen/Einfache Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktuebergang {Für
\definitionsverweis {messbare Abbildungen}{}{} gelten die folgenden Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen ist mess\-bar.
}{Jede konstante Abbildung ist messbar.
}{Die Identität ist messbar.
}{Es seien
\mathkor {} {{\mathcal A }} {und} {{\mathcal B }} {}
zwei
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} auf einer Menge $M$. Dann ist die Identität auf $M$ genau dann
\mathl{{\mathcal A }- {\mathcal B }}{-}messbar, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal A }
}
{ \supseteq }{ {\mathcal B }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 1.21. }
\inputfaktbeweis
{Messbare Abbildungen/Messbarkeitskriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A })} {und} {(N, {\mathcal B })} {}
zwei
\definitionsverweis {Messräume}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Es sei ${\mathcal E }$ ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
für ${\mathcal B }$.}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ bereits dann
\definitionsverweis {messbar}{}{,}
wenn für jede Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \in }{ {\mathcal E }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(T)}{} zu ${\mathcal A }$ gehört.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Mengensystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal C }
}
{ =} { { \left\{ T \subseteq N \mid \varphi^{-1}(T) \in {\mathcal A } \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da das
\definitionsverweis {Urbildnehmen}{}{}
mit sämtlichen Mengenoperationen verträglich ist, ist ${\mathcal C }$ eine
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
auf $N$. Da diese das Erzeugendensystem ${\mathcal E }$ umfasst, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal B }
}
{ \subseteq }{ {\mathcal C }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}