Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Wege in topologischen Räumen

Einführung

Wege in topologischen Räumen sollten die minimale Eigenschaft der Stetigkeit besitzen. Daher die folgende grundlegende Definition.

Definition - Weg in einem topologischen Raum

Sei $[a,b]\subset \mathbb {R}$ ein Interval und $\left(X,{\mathcal {T}}_{X}\right)$ topologischer Raum mit Topologie ${\mathcal {T}}_{X}$. Eine Abbildung:

$\gamma :[a,b]\to X$

heißt Weg in $X$, wenn die Abbildung $\gamma$ stetig ist. Das Intervall $[a,b]$ besitzt dabei Relativtopologie ${\mathcal {T}}_{[a,b]}$ der vom Betrag induzierten Topologie auf $\mathbb {R}$.

Bemerkung - Relativtopologie

Wenn $U\in {\mathcal {T}}_{\mathbb {R} }$ eine offene Menge in $\mathbb {R}$ ist, dann ist $U\cap [a,b]\in {\mathcal {T}}_{[a,b]}$ per Definition eine offene Menge in $[a,b]$ - also:

${\mathcal {T}}_{[a,b]}:=\left\{U_{o}\subset [a,b]\,:\,\exists _{U\in {\mathcal {T}}_{\mathbb {R} }}:U_{o}=U\cap [a,b]\right\}$

Definition - Spur eines Weges

Sei $[a,b]\subset \mathbb {R}$ ein Interval und $\left(X,{\mathcal {T}}_{X}\right)$ topologischer Raum mit Topologie ${\mathcal {T}}_{X}$. Ferner sei ein Weg in $\left(X,{\mathcal {T}}_{X}\right)$ der

$\gamma :[a,b]\to X$

gegeben. Die Spur von $\gamma$ in $X$ bezeichnet dann die Menge aller Bildpunkte in $X$.

$Spur(\gamma ):=\left\{\gamma (t)\,:\,t\in [a,b])\right\}$

Beispiel - Aufgabe

Wir betrachten nun den Vektorraum $\left(X,{\mathcal {T}}_{X}\right)$ der stetigen Funktionen $X:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$. Die Topologie ${\mathcal {T}}_{X}$ wir dabei von einem System von Halbnormen erzeugt:

$\|f\|_{n}:=\displaystyle \int _{-n}^{+n}|f(x)|\,dx$

wird $({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\mathbb {N} }$ zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum.

• Die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)=x^{2}$ und $g(x):=cos(x)$ liegen in $X:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$.
• Plotten Sie mit einen Schieberegeler $t\in [0,1]$ in Geogebra die Funktionen $\gamma (t):=(1-t)\cdot f+t\cdot g\in X$.

Animation für Weg in Funktionenräumen

Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen für $\gamma (t):=(1-t)\cdot f+t\cdot g\in X$ von zwei Funktionen $f$ und $g$ dar. Der rote Graph visualisiert den Weg von $f$ nach $g$ im Funktionenraum.

Konvexkombination von zwei Funktionen in Geogebra

- Geogebra: Interaktives Applet - Download: Geogebra-File

Bemerkung - Bildpunkte der Spur

Die dargestellten Konvexkombinationen $\gamma (t)$ sind Bildpunkte in der Spur des Weges $\gamma (t):=(1-t)\cdot f+t\cdot g\in X$. Verwechseln Sie das bitte nicht mit dem Graph der dargestellten Funktion $\gamma (t)$ zum Zeitpunkt $t$. Die Animation als Ganzes ist eher mit einem Graphen eine Funktion zu vergleichen, bei der man Weg in dem Funktionenraum von $f$ nach $g$ beobachten kann.

Bemerkung - Weg in einem Funktionenraum

Berücksichtigen Sie dabei, dass $\gamma (t)=H_{t}$ eine Funktion ist, die Sie in Geogebra für einen Ausschnitt des Definitionsbereiches an der Stelle $x\in \mathbb {R}$ mit $\gamma (t)(x)=H_{t}(x)$ auswerten und den Gaph von $H_{t}$ in $t\in [a,b]$ darstellen

CAS4Wiki - Wege im dreidimensionalen Raum

Nutzen Sie nun den folgenden Link, der CAS4Wiki mit einer vordefinierten Kurve im $\mathbb {R} ^{3}$ lädt und mit dem Bernsteinpolynom die Kurve im $\mathbb {R} ^{3}$ in $\mathbb {R} ^{3}$ plotten kann.

CAS4Wiki-Link für Kurven im $\mathbb {R} ^{3}$

CAS4Wiki-Befehle

Der CAS4Wiki-Link enthält

• 4 vordefiniert Vektoren unter Variables,
• 2 vordefinierte Kurven im $\mathbb {R} ^{3}$ mit den beiden Funktionen $cur(t)$ und der Konvexkombination mit dem Bernsteinpolynom, dass wie folgt definiert ist.

$$K(t):=v_{1}\cdot (1-t)^{3}+3v_{2}\cdot (1-t)^{2}\cdot t+3v_{3}\cdot (1-t)\cdot t^{2}+v_{4}\cdot t^{3}$$

Plotergebnis

Ausgeführt wird der ausgewählte Befehl mit dem Execute/Play-Button (Dreieck). Wenn man die jeweiligen Definitionen der Kurven auswählt erscheinen die folgenden beiden Plots.

Siehe auch

• Konvexkombination
• CAS4Wiki
• Wege in der komplexen Zahlenebene

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