Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Wege in topologischen Räumen

Einführung

Wege in topologischen Räumen sollten die minimale Eigenschaft der Stetigkeit besitzen. Daher die folgende grundlegende Definition.

Definition - Weg in einem topologischen Raum

Sei $[a, b] \subset ℝ$ ein Interval und $(X, 𝒯_{X})$ topologischer Raum mit Topologie $𝒯_{X}$ . Eine Abbildung:

γ : [a, b] \to X

heißt Weg in $X$ , wenn die Abbildung $γ$ stetig ist. Das Intervall $[a, b]$ besitzt dabei Relativtopologie $𝒯_{[a, b]}$ der vom Betrag induzierten Topologie auf $ℝ$ .

Bemerkung - Relativtopologie

Wenn $U \in 𝒯_{ℝ}$ eine offene Menge in $ℝ$ ist, dann ist $U \cap [a, b] \in 𝒯_{[a, b]}$ per Definition eine offene Menge in $[a, b]$ - also:

𝒯_{[a, b]} := {U_{o} \subset [a, b] : \exists_{U \in 𝒯_{ℝ}} : U_{o} = U \cap [a, b]}

Definition - Spur eines Weges

Sei $[a, b] \subset ℝ$ ein Interval und $(X, 𝒯_{X})$ topologischer Raum mit Topologie $𝒯_{X}$ . Ferner sei ein Weg in $(X, 𝒯_{X})$ der

γ : [a, b] \to X

gegeben. Die Spur von $γ$ in $X$ bezeichnet dann die Menge aller Bildpunkte in $X$ .

S p u r (γ) := {γ (t) : t \in [a, b])}

Beispiel - Aufgabe

Wir betrachten nun den Vektorraum $(X, 𝒯_{X})$ der stetigen Funktionen $X := 𝒞 (ℝ, ℝ)$ . Die Topologie $𝒯_{X}$ wir dabei von einem System von Halbnormen erzeugt:

‖ f ‖_{n} := \int_{- n}^{+ n} | f (x) | d x

wird $(𝒞 (ℝ, ℝ), ‖ \cdot ‖_{ℕ}$ zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum.

Die Funktionen $f$ und $g$ mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) := c o s (x)$ liegen in $X := 𝒞 (ℝ, ℝ)$ .
Plotten Sie mit einen Schieberegeler $t \in [0, 1]$ in Geogebra die Funktionen $γ (t) := (1 - t) \cdot f + t \cdot g \in X$ .

Animation für Weg in Funktionenräumen

Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen für $γ (t) := (1 - t) \cdot f + t \cdot g \in X$ von zwei Funktionen^[1] $f$ und $g$ dar. Der rote Graph visualisiert den Weg von $f$ nach $g$ im Funktionenraum.

Konvexkombination von zwei Funktionen in Geogebra

- Geogebra: Interaktives Applet - Download: Geogebra-File

Bemerkung - Bildpunkte der Spur

Die dargestellten Konvexkombinationen $γ (t)$ sind Bildpunkte in der Spur des Weges $γ (t) := (1 - t) \cdot f + t \cdot g \in X$ . Verwechseln Sie das bitte nicht mit dem Graph der dargestellten Funktion $γ (t)$ zum Zeitpunkt $t$ . Die Animation als Ganzes ist eher mit einem Graphen eine Funktion zu vergleichen, bei der man Weg in dem Funktionenraum von $f$ nach $g$ beobachten kann.

Bemerkung - Weg in einem Funktionenraum

Berücksichtigen Sie dabei, dass $γ (t) = H_{t}$ eine Funktion ist, die Sie in Geogebra für einen Ausschnitt des Definitionsbereiches an der Stelle $x \in ℝ$ mit $γ (t) (x) = H_{t} (x)$ auswerten und den Gaph von $H_{t}$ in $t \in [a, b]$ darstellen

CAS4Wiki - Wege im dreidimensionalen Raum

Nutzen Sie nun den folgenden Link, der CAS4Wiki mit einer vordefinierten Kurve im $ℝ^{3}$ lädt und mit dem Bernsteinpolynom die Kurve im $ℝ^{3}$ in $ℝ^{3}$ plotten kann.

CAS4Wiki-Link für Kurven im $ℝ^{3}$

CAS4Wiki-Befehle

Der CAS4Wiki-Link enthält

4 vordefiniert Vektoren unter Variables,
2 vordefinierte Kurven im $ℝ^{3}$ mit den beiden Funktionen $c u r (t)$ und der Konvexkombination mit dem Bernsteinpolynom, dass wie folgt definiert ist.

$K (t) := v_{1} \cdot (1 - t)^{3} + 3 v_{2} \cdot (1 - t)^{2} \cdot t + 3 v_{3} \cdot (1 - t) \cdot t^{2} + v_{4} \cdot t^{3}$

Plotergebnis

Ausgeführt wird der ausgewählte Befehl mit dem Execute/Play-Button (Dreieck). Wenn man die jeweiligen Definitionen der Kurven auswählt erscheinen die folgenden beiden Plots.

Siehe auch

Quellennachweis

↑ Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )

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[1] Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )

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