Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 37/latex

\setcounter{section}{37}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ \infty } { \frac{ x^2-3x+5 }{ x^4+2x^3+5x+8 } } \, d x} { }
existiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } e^{-t} \, d t} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{x \in \R}{} und betrachte die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {t} { f(t) = t^x e^{-t} } {.} Bestimme die \definitionsverweis {Extremwerte}{}{} dieser Funktion.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe, warum die \definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für die \definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{} für
\mathl{k \in \N}{} die Beziehung
\mathdisp {\operatorname{Fak} \, { \left( { \frac{ 2k-1 }{ 2 } } \right) } = { \frac{ \prod_{i = 1}^{k} (2i-1) }{ 2^k } } \cdot \sqrt{\pi}} { }
gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wie sieht der \definitionsverweis {Graph}{}{} einer \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {\R \times \R} {\R } {} aus, die nur von einer Variablen abhängt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= \sin t \text{ mit } y(\pi) = 7} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= 3t^3-2t+5 \text{ mit } y(3) = 4} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde alle Lösungen zur \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} {y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer \definitionsverweis {ortsunabhängigen Differentialgleichung}{}{} der Abstand zwischen zwei Lösungen \mathkor {} {y_1} {und} {y_2} {} zeitunabhängig ist, d.h. dass
\mathl{y_1(t)- y_2(t)}{} \definitionsverweis {konstant}{}{} ist.

Man gebe ein Beispiel, dass dies bei \definitionsverweis {zeitunabhängigen Differentialgleichungen}{}{} nicht der Fall sein muss.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ -1 }^{ 1 } { \frac{ 1 }{ \sqrt{1-t^2} } } \, d t} { }
existiert und berechne es im Falle der Existenz.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ \infty } { \frac{ x^3-3x+5 }{ x^4+2x^3+5x+8 } } \, d x} { }
existiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } { \frac{ \sin x }{ x } } \, d x} { }
existiert.

}
{} {(Versuche nicht, eine Stammfunktion für den Integranden zu finden.)}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für die \definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (x) }
{ =} { \int_{ 0 }^{ 1 } (- \ln t)^x \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde eine Lösung zur \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y' }
{ =} { y+t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ t^3 }{ t^2+1 } } \text{ mit } y(1) = 2} { . }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Kollektivaufgabe}

Auf vielfältigen Wunsch hin darf in der Testklausur 1 eine in Wikiversity zu erstellende gemeinsame Formelsammlung verwendet werden. Dadurch soll das Gedächtnis für Wichtigeres geschont werden. Sie ist aber nicht dafür gedacht, grundlegende theoretische Zusammenhänge, die jeder Mathematiker wissen muss, extern abzuspeichern \zusatzklammer {also beispielsweise Substitutionsregel u. Ä.} {} {.} Die Formelsammlung darf lediglich konkrete numerische Beziehungen enthalten, aber keine Definitionen oder Sätze. Einzelheiten sind verhandelbar, Akkreditierung durch den Dozenten.