Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 38

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=-{\frac {y}{t}}\,.$

Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t^{2}}}\,.$

Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=e^{t}y\,.$

Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

${}y'=y+7\,.$

Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=y+{\frac {\sinh t}{\cosh ^{2}t}}.$

Aufgabe

Es sei

${}y'=g(t)y\,$

eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion ${}g$ und es sei ${}y$ eine differenzierbare Lösung.

a) Zeige, dass ${}y$ ebenfalls unendlich oft differenzierbar ist.

b) Es sei ${}y(t_{0})=0$ für einen Zeitpunkt ${}t_{0}$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe *****, dass ${}y^{(n)}(t_{0})=0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. gilt.

Die folgende Aussage nennt man das Superpositionsprinzip für inhomogene lineare Differentialgleichungen. Es besagt insbesondere, dass die Differenz zweier Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung ist.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien

$g,h_{1},h_{2}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionen. Es sei ${}y_{1}$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}y'=g(t)y+h_{1}(t)$ und es sei ${}y_{2}$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}y'=g(t)y+h_{2}(t)$. Zeige, dass dann ${}y_{1}+y_{2}$ eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'=g(t)y+h_{1}(t)+h_{2}(t)\,$

ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige durch Nachrechnen, dass die in Beispiel 38.7 gefundenen Funktionen

$y(t)=c{\frac {\sqrt {t-1}}{\sqrt {t+1}}}$

die Differentialgleichung

$y'=y/(t^{2}-1)$

erfüllen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$. Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die ${}f$ eine Lösung ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t^{2}-3}}\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'={\frac {t}{t^{2}+2}}y{\text{ mit }}y(3)=7.$

Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=y+e^{2t}-4e^{-3t}+1.$

Aufgabe (5 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'={\frac {y}{t}}+{\frac {t^{3}-2t+5}{t^{2}-3}}.$