Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 38

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung


Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung


Aufgabe

Es sei

eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion und es sei eine differenzierbare Lösung.

a) Zeige, dass ebenfalls unendlich oft differenzierbar ist.

b) Es sei für einen Zeitpunkt . Zeige unter Verwendung von Aufgabe *****, dass für alle gilt.


Die folgende Aussage nennt man das Superpositionsprinzip für inhomogene lineare Differentialgleichungen. Es besagt insbesondere, dass die Differenz zweier Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung ist.

Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und seien

Funktionen. Es sei eine Lösung der Differentialgleichung und es sei eine Lösung der Differentialgleichung . Zeige, dass dann eine Lösung der Differentialgleichung

ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige durch Nachrechnen, dass die in Beispiel 38.7 gefundenen Funktionen

die Differentialgleichung

erfüllen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall . Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die eine Lösung ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung


Aufgabe (5 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung



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