Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 37

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-3x+5}{x^{4}+2x^{3}+5x+8}}\,dx$

existiert.

Aufgabe

Bestimme das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt.$

Aufgabe

Es sei ${}x\in \mathbb {R}$ und betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=t^{x}e^{-t}.$

Bestimme die Extremwerte dieser Funktion.

Aufgabe

Begründe, warum die Fakultätsfunktion stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für ${}k\in \mathbb {N}$ die Beziehung

$\operatorname {Fak} \,{\left({\frac {2k-1}{2}}\right)}={\frac {\prod _{i=1}^{k}(2i-1)}{2^{k}}}\cdot {\sqrt {\pi }}$

gilt.

Aufgabe

Wie sieht der Graph einer Abbildung

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

aus, die nur von einer Variablen abhängt.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y'=\sin t{\text{ mit }}y(\pi )=7.$

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y'=3t^{3}-2t+5{\text{ mit }}y(3)=4.$

Aufgabe

Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=y\,.$

Aufgabe

Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer ortsunabhängigen Differentialgleichung der Abstand zwischen zwei Lösungen ${}y_{1}$ und ${}y_{2}$ zeitunabhängig ist, d.h. dass ${}y_{1}(t)-y_{2}(t)$ konstant ist.

Man gebe ein Beispiel, dass dies bei zeitunabhängigen Differentialgleichungen nicht der Fall sein muss.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt$

existiert und berechne es im Falle der Existenz.

Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{3}-3x+5}{x^{4}+2x^{3}+5x+8}}\,dx$

existiert.

Aufgabe (5 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx$

existiert.

(Versuche nicht, eine Stammfunktion für den Integranden zu finden.)

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion die Beziehung

${}\operatorname {Fak} \,(x)=\int _{0}^{1}(-\ln t)^{x}\,dt\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde eine Lösung zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=y+t\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'={\frac {t^{3}}{t^{2}+1}}{\text{ mit }}y(1)=2.$

Kollektivaufgabe

Auf vielfältigen Wunsch hin darf in der Testklausur 1 eine in Wikiversity zu erstellende gemeinsame Formelsammlung verwendet werden. Dadurch soll das Gedächtnis für Wichtigeres geschont werden. Sie ist aber nicht dafür gedacht, grundlegende theoretische Zusammenhänge, die jeder Mathematiker wissen muss, extern abzuspeichern (also beispielsweise Substitutionsregel u. Ä.). Die Formelsammlung darf lediglich konkrete numerische Beziehungen enthalten, aber keine Definitionen oder Sätze. Einzelheiten sind verhandelbar, Akkreditierung durch den Dozenten. Siehe hier.