Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 36

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme, für welche die Funktion

ein Maximum oder ein Minimum besitzt.


Aufgabe

Nach neuesten Studien zur Aufnahmefähigkeit von durchschnittlichen Studierenden wird die Aufmerksamkeitskurve am Tag durch

beschrieben. Dabei ist die Zeit in Stunden und ist die Aufnahmefähigkeit in Mikrocreditpoints pro Sekunde. Wann muss man eine ein einhalb stündige Vorlesung ansetzen, damit die Gesamtaufnahme optimal ist? Wie viele Mikrocreditpoints werden dann in dieser Vorlesung aufgenommen?


Aufgabe

Betrachte die Funktionenfolge

Berechne die Grenzfunktion, deren Integral (wenn es existiert), die Integrale und deren Grenzwert für .


Aufgabe

Sei ein Intervall, ein (uneigentlicher) Randpunkt von und

eine stetige Funktion. Zeige, dass die Existenz des uneigentlichen Integrals

nicht vom gewählten Startpunkt abhängt.


Aufgabe

Sei ein beschränktes offenes Intervall und

eine stetige Funktion, die sich auf stetig fortsetzen lässt. Zeige, dass dann das uneigentliche Integral

existiert und mit dem bestimmten Integral

übereinstimmt.


Aufgabe

Formuliere und beweise Rechenregeln für uneigentliche Integrale


Aufgabe 7

Diskutiere die Aufgaben 31.17 und 31.18 auf der Grundlage des Vergleichskriteriums.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Funktionenfolge

mit

auf punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz und bestimme gegebenenfalls die Grenzfunktion.

Bestimme ferner


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von stetigen Funktionen

die punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert, wo aber ist für alle .


Aufgabe (8 (2+2+2+2) Punkte)

Man betrachte die Funktion

die durch

gegeben ist.

a) Zeige, dass stetig ist und dass für alle gilt.

b) Man zeige, dass die Funktionenfolge

auf gleichmäßig konvergiert.

c) Beweise

für alle .

d) Summiere die Reihe in b) und folgere


Aufgabe (5 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert und berechne es im Falle der Existenz.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine unbeschränkte, stetige Funktion

derart, dass das uneigentliche Integral existiert.




Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe (4 Punkte)

Man fertige eine Skizze an, die die eulersche Konstante als einen Flächeninhalt darstellt.



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