Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 36

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Bestimme, für welche ${}a\in \mathbb {R}$ die Funktion

$a\longmapsto \int _{-1}^{2}at^{2}-a^{2}t\,dt$

ein Maximum oder ein Minimum besitzt.

Aufgabe

Nach neuesten Studien zur Aufnahmefähigkeit von durchschnittlichen Studierenden wird die Aufmerksamkeitskurve am Tag durch

$[8,18]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=-x^{2}+25x-100,$

beschrieben. Dabei ist ${}x$ die Zeit in Stunden und ${}y=f(x)$ ist die Aufnahmefähigkeit in Mikrocreditpoints pro Sekunde. Wann muss man eine ein einhalb stündige Vorlesung ansetzen, damit die Gesamtaufnahme optimal ist? Wie viele Mikrocreditpoints werden dann in dieser Vorlesung aufgenommen?

Aufgabe

Betrachte die Funktionenfolge

$f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow [0,1],\,x\longmapsto x^{n}.$

Berechne die Grenzfunktion dieser Funktionenfolge, deren Integral (wenn es existiert), die Integrale ${}\int _{0}^{1}f_{n}(t)\,dt$ und deren Grenzwert für ${}n\rightarrow \infty$.

Aufgabe

Es sei ${}I$ ein Intervall, ${}r$ ein (uneigentlicher) Randpunkt von ${}I$ und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass die Existenz des uneigentlichen Integrals

$\int _{a}^{r}f(t)\,dt$

nicht vom gewählten Startpunkt ${}a\in I$ abhängt.

Aufgabe

Es sei ${}I={]r,s[}$ ein beschränktes offenes Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion, die sich auf ${}[r,s]$ stetig fortsetzen lässt. Zeige, dass dann das uneigentliche Integral

$\int _{r}^{s}f(t)\,dt$

existiert und mit dem bestimmten Integral

$\int _{r}^{s}f(t)\,dt$

übereinstimmt.

Aufgabe

Formuliere und beweise Rechenregeln für uneigentliche Integrale (analog zu Lemma 31.15).

Aufgabe 7

Diskutiere die Aufgaben 31.17 und 31.18 auf der Grundlage des Vergleichskriteriums.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Funktionenfolge

$f_{n}\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

mit

$f_{n}(x)={\frac {ne^{x}+xe^{-x}}{n+x}}$

auf punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz und bestimme gegebenenfalls die Grenzfunktion.

Bestimme ferner

$\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}(x^{2}+1)f_{n}(x)dx.$

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von stetigen Funktionen

$f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$

die punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert, wo aber

${}\int _{0}^{1}f_{n}(t)\,dt=1\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist.

Aufgabe (8 (2+2+2+2) Punkte)

Man betrachte die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die durch

$f(x)={\begin{cases}-x\ln(x)&{\text{falls }}x\neq 0,\\0&{\text{falls }}x=0.\end{cases}}$

gegeben ist.

a) Zeige, dass ${}f$ stetig ist und dass ${}0\leq f(x)\leq {\frac {1}{e}}$ für alle ${}x\in [0,1]$ gilt.

b) Man zeige, dass die Funktionenfolge

$g_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {(-x\ln(x))^{n}}{n!}}$

auf ${}[0,1]$ gleichmäßig konvergiert.

c) Beweise

$\int _{0}^{1}(-x)^{m}(\ln x)^{n}dx={\frac {(-1)^{n+m}n!}{(m+1)^{n+1}}}$

für alle ${}m\geq n$.

d) Summiere die Reihe in b) und folgere

$\int _{0}^{1}x^{-x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{n+1}}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}\,dx$

existiert und berechne es im Falle der Existenz.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine unbeschränkte, stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

derart, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{\infty }f(t)\,dt$ existiert.

Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe (4 Punkte)

Man fertige eine Skizze an, die die eulersche Konstante als einen Flächeninhalt darstellt.