Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 42/latex

\setcounter{section}{42}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} { {\mathbb K}^2 } { {\mathbb K} } {(x,y)} {xy } {,} \aufzaehlungsechs{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,} }{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(2,5)}{,} }{im Punkt
\mathl{(1,0)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,} }{im Punkt
\mathl{(1,0)}{} in Richtung
\mathl{(0,1)}{,} }{im Punkt
\mathl{(2,3)}{} in Richtung
\mathl{(-1,0)}{,} }{im Punkt
\mathl{(3,7)}{} in Richtung
\mathl{(5,-4)}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} { {\mathbb K} } { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, wenn $f$ in $P$ in Richtung $1$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, und dass dann die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{1} f \right) } { \left( P \right) } }
{ =} { f'(P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} reelle \definitionsverweis {endlichdimensionale Vektorräume}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} \definitionsverweis {offen}{}{,}
\mathl{P \in G}{} und
\mathl{v \in V}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {G} {W } {} eine Abbildung. Zeige, dass die Richtungsableitung
\mathl{{ \left( D_{v} \varphi \right) } { \left( P \right) }}{} im Punkt $P$ genau dann existiert, wenn die \definitionsverweis {Kurve}{}{} \maabbeledisp {} {I} {W } {t} { \varphi(P+tv) } {,} in
\mathl{t=0}{} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist. Wie muss dabei das Intervall $I$ gewählt werden?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, für welche Punkte
\mathl{P\in \R^n}{} und welche Richtungen
\mathl{v \in \R^n}{} die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} der \definitionsverweis {euklidischen Norm}{}{} \maabbeledisp {} {\R^n} {\R } { (x_1 , \ldots , x_{ n }) } {\sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2} } {,} existiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} reelle endlichdimensionale Vektorräume,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}

\definitionsverweis {offen}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Vektor. Es bezeichne
\mathl{C^1_v(G,W)}{} die Menge aller in Richtung $v$ \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildungen}{}{} von $G$ nach $W$. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { C^1_v(G,W)} {{\rm Abb}(G,W) } {\varphi} { D_{ v}\varphi } {,} \definitionsverweis {linear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die Funktion \maabbeledisp {f} { \R^2} {\R } {(x,y)} {x^2-y^2 } {,} im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} auf \definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{.} Man entscheide für jede Gerade $G$ durch den Nullpunkt, ob die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $f$ auf $G$ im Nullpunkt ein \definitionsverweis {Extremum}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {polynomiale Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {(x_1 , \ldots , x_n) } {f(x_1 , \ldots , x_n) } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} { {\mathbb K}^m } { {\mathbb K}^n } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{,} die in jeder \definitionsverweis {Komponente}{}{} \definitionsverweis {polynomial}{}{} sei und sei \maabbdisp {g} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {} eine polynomiale Funktion. Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{g \circ f}{} eine \definitionsverweis {polynomiale Funktion}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K}^{n^2} \cong\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K}) } { {\mathbb K} } {M} { \det M } {,} eine \definitionsverweis {polynomiale Funktion}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} { {\mathbb K}^2 } {{\mathbb K} } {(x,y)} {x^2 \sin y -e^{x} y -x } {,} \aufzaehlungacht{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,} }{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(0,1)}{,} }{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(2,0)}{,} }{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(1,-3)}{,} }{im Punkt
\mathl{(1,1)}{} in Richtung
\mathl{(1,1)}{,} }{im Punkt
\mathl{(1,0)}{} in Richtung
\mathl{(-1, { \frac{ 1 }{ 2 } })}{,} }{im Punkt
\mathl{(5,7)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,} }{im Punkt
\mathl{(1,0)}{} in Richtung
\mathl{(5,7)}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {(x_1 , \ldots , x_n)} { x_1^{r_1} { \cdots } x_n^{r_n} } {,} in einem Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a }
{ =} { (a_1 , \ldots , a_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in Richtung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v }
{ =} { (v_1 , \ldots , v_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, unter Verwendung von Aufgabe 42.11, dass zu einer \definitionsverweis {polynomialen Funktion}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } { (x_1 , \ldots , x_{ n }) } {\varphi (x_1 , \ldots , x_{ n }) } {,} zu einer fixierten Richtung
\mathl{v \in {\mathbb K}^n}{} die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
\mathl{D_{ v}\varphi}{} existiert und selbst polynomial ist.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe kan man direkt oder aber mit der folgenden Aufgabe lösen.


\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}

\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Vektor und sei \maabbdisp {f} {G} {W } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{,} die im Punkt $P$ in Richtung $v$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} sei. Zeige, dass $f$ auch in Richtung
\mathbed {cv} {mit}
{c \in {\mathbb K}} {}
{} {} {} {} differenzierbar ist und die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{ cv} f \right) } { \left( P \right) } }
{ =} { c { \left( D_{v} f \right) } { \left( P \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{D,E,F}{} \definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und sei \maabbdisp {h} {D} {E } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Berührpunkt}{}{} von
\mathl{D \setminus \{P\}}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(P) }
{ =} { Q }
{ \in} { E }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Berührpunkt von
\mathl{E \setminus\{Q\}}{.} Es sei \maabbdisp {g} {E \setminus \{Q \}} {F } {} eine Abbildung und es sei vorausgesetzt, dass
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ y \rightarrow Q } \, g(y)} { }
existiert. Zeige, dass dann auch
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow P } \, g(h(x))} { }
existiert und mit
\mathl{\operatorname{lim}_{ y \rightarrow Q } \, g(y)}{} übereinstimmt.

}
{} {}