Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 42

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

  1. im Punkt in Richtung ,
  2. im Punkt in Richtung ,
  3. im Punkt in Richtung ,
  4. im Punkt in Richtung ,
  5. im Punkt in Richtung ,
  6. im Punkt in Richtung .


Aufgabe

Sei

eine

Funktion. Zeige, dass in einem Punkt genau dann differenzierbar ist, wenn in in Richtung differenzierbar ist, und dass dann die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es seien und endlichdimensionale Vektorräume, offen, und . Es sei

eine Abbildung. Zeige, dass die Richtungsableitung im Punkt genau dann existiert, wenn die Kurve

in differenzierbar ist. Wie muss dabei das Intervall gewählt werden?


Aufgabe

Bestimme, für welche Punkte und welche Richtungen die Richtungsableitung der euklidischen Norm

existiert.


Aufgabe

Es seien und reelle endlichdimensionale Vektorräume, offen und ein Vektor. Es bezeichne die Menge aller in Richtung differenzierbaren Abbildungen von nach . Zeige, dass die Abbildung

linear ist.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

im Nullpunkt auf Richtungsableitungen. Man entscheide für jede Gerade durch den Nullpunkt, ob die Einschränkung von auf im Nullpunkt ein Extremum besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass eine polynomiale Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Es sei

eine Abbildung, die in jeder Komponente polynomial sei und sei

eine polynomiale Funktion. Zeige, dass dann auch die Hintereinanderschaltung eine polynomiale Funktion ist.


Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Determinante

eine polynomiale Funktion ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

  1. im Punkt in Richtung ,
  2. im Punkt in Richtung ,
  3. im Punkt in Richtung ,
  4. im Punkt in Richtung ,
  5. im Punkt in Richtung ,
  6. im Punkt in Richtung ,
  7. im Punkt in Richtung ,
  8. im Punkt in Richtung .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitungen der Funktion

in einem Punkt

in Richtung


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, unter Verwendung von Aufgabe 42.11, dass zu einer polynomialen Funktion

zu einer fixierten Richtung die Richtungsableitung existiert und selbst polynomial ist.


Die nächste Aufgabe kan man direkt oder aber mit der folgenden Aufgabe lösen.

Aufgabe (4 Punkte)

Seien und endlichdimensionale -Vektorräume, sei offen, ein Punkt, ein Vektor und sei

eine Abbildung, die im Punkt in Richtung differenzierbar sei. Zeige, dass auch in Richtung  mit differenzierbar ist und die Beziehung gilt.


Aufgabe (5 Punkte)

Seien metrische Räume und sei

eine stetige Abbildung. Es sei ein Berührpunkt von und ein Berührpunkt von . Es sei

eine Abbildung und es sei vorausgesetzt, dass

existiert. Zeige, dass dann auch

existiert und mit übereinstimmt.



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