Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 42

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto xy,$

1. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(1,0)$,
2. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(2,5)$,
3. im Punkt ${}(1,0)$ in Richtung ${}(1,0)$,
4. im Punkt ${}(1,0)$ in Richtung ${}(0,1)$,
5. im Punkt ${}(2,3)$ in Richtung ${}(-1,0)$,
6. im Punkt ${}(3,7)$ in Richtung ${}(5,-4)$.

Aufgabe

Es sei

$f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }$ genau dann differenzierbar ist, wenn ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}1$ differenzierbar ist, und dass dann die Gleichheit

${}{\left(D_{1}f\right)}{\left(P\right)}=f'(P)\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ reelle endlichdimensionale Vektorräume, ${}G\subseteq V$ offen, ${}P\in G$ und ${}v\in V$. Es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung. Zeige, dass die Richtungsableitung ${}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}$ im Punkt ${}P$ genau dann existiert, wenn die Kurve

$I\longrightarrow W,\,t\longmapsto \varphi (P+tv),$

in ${}t=0$ differenzierbar ist. Wie muss dabei das Intervall ${}I$ gewählt werden?

Aufgabe

Bestimme, für welche Punkte ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ und welche Richtungen ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Richtungsableitung der euklidischen Norm

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}},$

existiert.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ reelle endlichdimensionale Vektorräume, ${}G\subseteq V$

offen und ${}v\in V$ ein Vektor. Es bezeichne ${}C_{v}^{1}(G,W)$ die Menge aller in Richtung ${}v$ differenzierbaren Abbildungen von ${}G$ nach ${}W$. Zeige, dass die Abbildung

$C_{v}^{1}(G,W)\longrightarrow {\rm {Abb}}(G,W),\,\varphi \longmapsto D_{v}\varphi ,$

linear ist.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{2},$

im Nullpunkt ${}(0,0)$ auf Richtungsableitungen. Man entscheide für jede Gerade ${}G$ durch den Nullpunkt, ob die Einschränkung von ${}f$ auf ${}G$ im Nullpunkt ein Extremum besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass eine polynomiale Funktion

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon {\mathbb {K} }^{m}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$

eine Abbildung, die in jeder Komponente polynomial sei und sei

$g\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine polynomiale Funktion. Zeige, dass dann auch die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ eine polynomiale Funktion ist.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Determinante

${\mathbb {K} }^{n^{2}}\cong \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,M\longmapsto \det M,$

eine polynomiale Funktion ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}\sin y-e^{x}y-x,$

1. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(1,0)$,
2. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(0,1)$,
3. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(2,0)$,
4. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(1,-3)$,
5. im Punkt ${}(1,1)$ in Richtung ${}(1,1)$,
6. im Punkt ${}(1,0)$ in Richtung ${}(-1,{\frac {1}{2}})$,
7. im Punkt ${}(5,7)$ in Richtung ${}(1,0)$,
8. im Punkt ${}(1,0)$ in Richtung ${}(5,7)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitungen der Funktion

${\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto x_{1}^{r_{1}}{\cdots }x_{n}^{r_{n}},$

in einem Punkt

${}a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\,$

in Richtung

${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, unter Verwendung von Aufgabe 42.11, dass zu einer polynomialen Funktion

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n}),$

zu einer fixierten Richtung ${}v\in {\mathbb {K} }^{n}$ die Richtungsableitung ${}D_{v}\varphi$ existiert und selbst polynomial ist.

Die nächste Aufgabe kan man direkt oder aber mit der folgenden Aufgabe lösen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$

offen, ${}P\in G$ ein Punkt, ${}v\in V$ ein Vektor und sei

$f\colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung, die im Punkt ${}P$ in Richtung ${}v$ differenzierbar sei. Zeige, dass ${}f$ auch in Richtung ${}cv$ mit ${}c\in {\mathbb {K} }$ differenzierbar ist und die Beziehung

${}{\left(D_{cv}f\right)}{\left(P\right)}=c{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}\,$

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}D,E,F$ metrische Räume und sei

$h\colon D\longrightarrow E$

eine stetige Abbildung. Es sei ${}P\in D$ ein Berührpunkt von ${}D\setminus \{P\}$ und

${}h(P)=Q\in E\,$

ein Berührpunkt von ${}E\setminus \{Q\}$. Es sei

$g\colon E\setminus \{Q\}\longrightarrow F$

eine Abbildung und es sei vorausgesetzt, dass

$\operatorname {lim} _{y\rightarrow Q}\,g(y)$

existiert. Zeige, dass dann auch

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow P}\,g(h(x))$

existiert und mit ${}\operatorname {lim} _{y\rightarrow Q}\,g(y)$ übereinstimmt.