- Aufwärmaufgaben
Bestimme die
Richtungsableitung
der Funktion
-
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung .
Bestimme, für welche Punkte und welche Richtungen die
Richtungsableitung
der
euklidischen Norm
-
existiert.
Es seien
und
reelle endlichdimensionale Vektorräume,
offen
und
ein Vektor. Es bezeichne die Menge aller in Richtung
differenzierbaren Abbildungen
von nach . Zeige, dass die Abbildung
-
linear
ist.
Untersuche die Funktion
-
im Nullpunkt auf
Richtungsableitungen.
Man entscheide für jede Gerade durch den Nullpunkt, ob die
Einschränkung
von auf im Nullpunkt ein
Extremum
besitzt.
Zeige, dass eine
polynomiale Funktion
-
stetig
ist.
Es sei
-
eine
Abbildung,
die in jeder
Komponente
polynomial sei und sei
-
eine polynomiale Funktion. Zeige, dass dann auch die
Hintereinanderschaltung
eine
polynomiale Funktion
ist.
Es sei
.
Zeige, dass die
Determinante
-
eine
polynomiale Funktion
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme die
Richtungsableitung
der Funktion
-
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung .
Bestimme die
Richtungsableitungen
der Funktion
-
in einem Punkt
-
in Richtung
-
Zeige, unter Verwendung von
Aufgabe 42.11,
dass zu einer
polynomialen Funktion
-
zu einer fixierten Richtung die
Richtungsableitung existiert und selbst polynomial ist.
Die nächste Aufgabe kan man direkt oder aber mit der folgenden Aufgabe lösen.
Es seien
metrische Räume
und sei
-
eine
stetige Abbildung.
Es sei
ein
Berührpunkt
von und
-
ein Berührpunkt von . Es sei
-
eine Abbildung und es sei vorausgesetzt, dass
-
existiert. Zeige, dass dann auch
-
existiert und mit übereinstimmt.