Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 51/latex
\setcounter{section}{51}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und
\mathl{L \times M}{} ihre
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{.}
Beschreibe die
\definitionsverweis {Faser}{}{} der
\definitionsverweis {Projektion}{}{}
\maabbeledisp {} {L\times M} {M
} {(x,y)} {y
} {,} über einem Punkt
\mathl{y \in M}{.} Kann die Faser leer sein?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R
} {x} {x^3-x^2-2x+2
} {.}
Für welche Punkte
\mathl{P\in \R}{} ist $\varphi$
\definitionsverweis {regulär}{}{?} Was besagt der
Satz über implizite Abbildungen
in dieser Situation? Wie sieht lokal die Faser in einem regulären Punkt aus? Kann es leere Fasern geben? Bestimme die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
über $0$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Seien
\mathkor {} {L_1 , \ldots , L_n} {und} {M_1 , \ldots , M_n} {}
Mengen und seien
\maabbdisp {\varphi_i} {L_i} {M_i
} {}
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.}
Zu einem Punkt
\mathl{P_i \in M_i}{} sei
\mathl{F_i \subseteq L_i}{} die
\definitionsverweis {Faser}{}{} von $\varphi_i$ über $P_i$. Zeige, dass die Faser der
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{}
\mathl{\varphi= \varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n}{} über
\mathl{P=(P_1 , \ldots , P_n )}{} gleich
\mathl{F_1 \times \cdots \times F_n}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} zwei \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{,} deren \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} \mathkor {} {f'} {und} {g'} {} stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x)+g(y) } {,} \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} und in jedem Punkt \definitionsverweis {regulär}{}{} ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der \definitionsverweis {Fasern}{}{} von $\varphi$ als \definitionsverweis {Graph}{}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die \definitionsverweis {Fasern}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy } {.} Man gebe, falls dies möglich ist, \definitionsverweis {Diffeomorphismen}{}{} zwischen $\R$ und den Fasern von $\varphi$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die \definitionsverweis {Fasern}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+y^2 } {.} Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen \definitionsverweis {offenen Intervallen}{}{} $I \subseteq \R$ und \zusatzklammer {möglichst großen} {} {} \definitionsverweis {offenen Teilmengen}{}{} der Fasern von $\varphi$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe den \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} an die \definitionsverweis {Faser}{}{} in jedem \definitionsverweis {regulären Punkt}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe den \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} an die \definitionsverweis {Faser}{}{} in jedem \definitionsverweis {regulären Punkt}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+y^2 } {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {\varphi(x,y)
} {,}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
für die in jedem Punkt
\mathl{P \in \R^2}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial^2 }{ \partial y \partial x } } \varphi (P)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelte. Zeige, dass es dann Funktionen
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(x,y)
}
{ =} {f(x) + g(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
der
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {x^2-y^3
} {,}
in jedem Punkt
\mathl{P=(x,y)}{} lokal
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {offenen reellen Intervall}{}{}
sind. D.h. dass es zu jedem Punkt
\mathl{P=(x,y)}{} eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mathl{(x,y) \in U}{,} ein offenes Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{} und
eine
\definitionsverweis {stetige Bijektion}{}{}
\maabbdisp {} {I} {U \cap F_P
} {,}
gibt
\zusatzklammer {wobei
\mathl{F_P}{} die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
von $\varphi$ durch $P$ bezeichnet} {} {,}
deren
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
ebenfalls stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und es sei
\mathl{P \in \R^2}{} ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung
\mathl{P \in U}{} derart, dass
\mathl{\varphi(Q) \neq \varphi(P)}{} ist für alle
\mathbed {Q\in U} {}
{Q \neq P} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass dann $\varphi$ in $P$ ein
\definitionsverweis {isoliertes lokales Extremum}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe den \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} an die \definitionsverweis {Faser}{}{} in jedem \definitionsverweis {regulären Punkt}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x^2+y^2+z^2 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} {x^2+y^2+z^2
} {,}
im Punkt $P=(1,-1,2)$. Man gebe eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {U} {\R^3
} {}
an, wobei $U$ eine möglichst große
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
des
\definitionsverweis {Tangentialraumes}{}{}
\mathl{T_PF}{} an die Faser $F_P$ von $\varphi$ durch $P$ ist, die eine Bijektion zwischen $U$ und
\mathl{V \cap F_P}{} stiftet
\zusatzklammer {\mathlk{P \in V \subseteq \R^3}{} offen} {} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Hochladen}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x^2+y^2+z^2 } {.} Man fertige eine Skizze an, die die \definitionsverweis {Fasern}{}{,} die \definitionsverweis {Tangentialräume}{}{} und lokale \definitionsverweis {Diffeomorphismen}{}{} zwischen Tangentialraum und Faser sichtbar macht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R} {\R } {(x,y)} {x^y } {.} Man fertige Skizzen für den (1) \definitionsverweis {Graph}{}{} und (2) die \definitionsverweis {Fasern}{}{} und die \definitionsverweis {Tangentialräume}{}{} dieser Abbildung an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man fertige eine Animation an, die den Banachschen Fixpunktsatz anhand eines \anfuehrung{Karte in der Karte}{-}Modells illustriert.
}
{} {}
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