Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 50

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme für die Funktion

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy{\sqrt {3-x^{2}-y^{2}}},

den maximalen Definitionsbereich ${}D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und untersuche die Funktion auf Extrema.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+},\,(x,y)\longmapsto (x,e^{x+y}),

bijektiv ist. Man gebe explizit eine Umkehrabbildung an.

Aufgabe

Definiere explizit einen Diffeomorphismus zwischen ${}\mathbb {R} ^{n}$ und einer offenen Kugel ${}U{\left(0,r\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ .

Aufgabe

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}y,x-\sin y).

Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}P=(1,0)$ regulär ist und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung von ${}\varphi |_{U}$ in ${}\varphi (P)$ , wobei ${}U$ eine offene Umgebung von ${}P$ sei (die nicht explizit angegeben werden muss).

Aufgabe

Es seien ${}U,V,W$ euklidische Vektorräume und seien ${}\varphi :U\longrightarrow V$ und ${}\psi :V\longrightarrow W$ differenzierbare Abbildungen. Es sei ${}\varphi$ regulär in ${}P\in U$ und ${}\psi$ regulär in ${}Q=\varphi (P)\in V$ . Ist dann ${}\psi \circ \varphi$ regulär in ${}P$ ? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?

Aufgabe

Das komplexe Quadrieren

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},

kann man reell als

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x+{\mathrm {i} }y=(x,y)\longmapsto (x+{\mathrm {i} }y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2{\mathrm {i} }xy=(x^{2}-y^{2},2xy),

schreiben. Untersuche ${}\varphi$ auf reguläre Punkte. Auf welchen (möglichst großen) offenen Teilmengen ist ${}\varphi$ umkehrbar?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Man konstruiere ein Beispiel, das zeigt, dass Lemma 49.3 ohne die Voraussetzung, dass mit je zwei Punkten auch die Verbindungsgerade zur Definitionsmenge gehört, nicht gilt.

(Tipp: Man denke daran, wie man flach auf einen steilen Berg kommt.)

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann eine Verschiebung ist, also von der Art ${}P\mapsto P+v$ mit einem festen Vektor ${}v\in V$ , wenn

{}\left(D\varphi \right)_{P}=\operatorname {Id} _{V}\,

für alle ${}P\in V$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, ${}G\subseteq V_{1}$ offen und sei

\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}U\subseteq G$ eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt ${}P\in U$ das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ bijektiv ist. Zeige, dass dann das Bild ${}\varphi (U)$ offen in ${}V_{2}$ ist.

Aufgabe (7 Punkte)

Betrachte die Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy).

Bestimme die regulären Punkte von ${}\varphi$ .
Zeige, dass in den kritischen Punkten die Abbildung ${}\varphi$ nicht lokal invertierbar ist, dass also die Einschränkung von ${}\varphi$ in keiner offenen Umgebung eines kritischen Punktes bijektiv wird.
Lässt sich jedes reelle Zahlenpaar ${}(s,p)$ als ${}(s,p)=(x+y,xy)$ schreiben?
Ist ein reelles Zahlenpaar ${}(x,y)$ bis auf Vertauschen der Komponenten eindeutig durch die Summe ${}x+y$ und das Produkt ${}xy$ festgelegt?