Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 50

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme für die Funktion

den maximalen Definitionsbereich und untersuche die Funktion auf Extrema.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

bijektiv ist. Man gebe explizit eine Umkehrabbildung an.


Aufgabe

Definiere explizit einen Diffeomorphismus zwischen und einer offenen Kugel .


Aufgabe

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung

Zeige, dass in regulär ist und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung von in , wobei eine offene Umgebung von sei (die nicht explizit angegeben werden muss).


Aufgabe

Seien euklidische Vektorräume und seien und differenzierbare Abbildungen. Es sei regulär in und regulär in . Ist dann regulär in ? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?

Aufgabe

Das komplexe Quadrieren

kann man reell als

schreiben. Untersuche auf reguläre Punkte. Auf welchen (möglichst großen) offenen Teilmengen ist umkehrbar?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Man konstruiere ein Beispiel, das zeigt, dass Lemma 49.3 ohne die Voraussetzung, dass mit je zwei Punkten auch die Verbindungsgerade zur Definitionsmenge gehört, nicht gilt.

(Tipp: Man denke daran, wie man flach auf einen steilen Berg kommt.)

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und sei

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Verschiebung ist, also von der Art mit einem festen Vektor , wenn

für alle ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, offen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt das totale Differential bijektiv ist. Zeige, dass dann das Bild offen in ist.


Aufgabe (7 Punkte)

Betrachte die Abbildung

  1. Bestimme die regulären Punkte von .
  2. Zeige, dass in den kritischen Punkten die Abbildung nicht lokal invertierbar ist, dass also die Einschränkung von in keiner offenen Umgebung eines kritischen Punktes bijektiv wird.
  3. Lässt sich jedes reelle Zahlenpaar als schreiben?
  4. Ist ein reelles Zahlenpaar bis auf Vertauschen der Komponenten eindeutig durch die Summe und das Produkt festgelegt?


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Zeige, dass ein Punkt genau dann ein kritischer Punkt von ist, wenn in zwei Zahlen doppelt vorkommen.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Zeige, dass die Menge der kritischen Punkte von eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere (mindestens einen) Punkte enthält.



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