Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 52

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde für die folgenden Kurven

Abbildungen

derart, dass das Bild von genau die Faser von über ist.

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe

Es sei

eine stetige Abbildung und die Faser über . Zeige, dass es auch eine stetige Abbildung

derart gibt, dass die Faser von über einem Punkt ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ein Untervektorraum. Zeige, dass es eine lineare Abbildung

in einen weiteren reellen endlichdimensionalen Vektorraum derart gibt, dass die Faser über ist und dass in jedem Punkt regulär ist.


Soccer field - empty.svg

Aufgabe

Ein Fußballfeld soll in einen Park mit Erhebungen und mit Senken umgewandelt werden. Dabei sollen die Linien unverändert bleiben und alle anderen Punkte sollen ihre Höhe ändern. Ist dabei jede Vorgabe, welche umrandeten Gebiete erhöht oder gesenkt werden sollen, möglich? Ist jedes solche Vorhaben durch eine stetige oder eine differenzierbare Höhenfunktion durchführbar? Können im differenzierbaren Fall alle Punkte regulär sein?


Aufgabe

Es sei offen und

eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ein surjektives totales Differential besitze. Es sei

(mit offen) ein lokaler Diffeomorphismus auf die Faser durch , bei dem auf abgebildet wird. Zeige, dass man den Tangentialraum an die Faser durch auch als

beschreiben kann.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Tangentialraum an die Faser im Punkt der Abbildung

und zwar sowohl durch lineare Gleichungen als auch durch eine parametrisierte Gerade.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die regulären Punkte, die Fasern, das Bild und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung. Man gebe möglichst große offene Mengen derart an, dass

ein Diffeomorphismus ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die regulären Punkte, die Fasern, das Bild und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Zeige, dass die Faser durch den Punkt sich lokal durch eine differenzierbare Kurve

mit parametrisieren lässt, und bestimme die möglichen Werte der Ableitung .


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

stetige Abbildungen und seien und Fasern dieser Abbildungen, d.h. es sei und (für gewisse ). Zeige, dass es eine stetige Abbildung

und ein derart gibt, dass ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe explizit eine stetige Abbildung

derart, dass die Faser von über gleich ist.



<< | Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)