Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 51

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien und Mengen und ihre Produktmenge. Beschreibe die Faser der Projektion

über einem Punkt . Kann die Faser leer sein?


Aufgabe

Betrachte die Abbildung

Für welche Punkte ist regulär? Was besagt der Satz über implizite Abbildungen in dieser Situation? Wie sieht lokal die Faser in einem regulären Punkt aus? Kann es leere Fasern geben? Bestimme die Faser über .


Aufgabe

Seien und Mengen und seien

Abbildungen. Zu einem Punkt sei die Faser von über . Zeige, dass die Faser der Produktabbildung über gleich ist.


Aufgabe

Es seien

zwei stetig differenzierbare Funktionen, deren Ableitungen und stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion

stetig differenzierbar und in jedem Punkt regulär ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der Fasern von als Graph an.


Aufgabe

Beschreibe die Fasern der Abbildung

Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen und den Fasern von an.


Aufgabe

Beschreibe die Fasern der Abbildung

Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen offenen Intervallen und (möglichst großen) offenen Teilmengen der Fasern von an.


Aufgabe

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung


Aufgabe

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, für die in jedem Punkt

gelte. Zeige, dass es dann Funktionen

derart gibt, dass

gilt.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Fasern der Abbildung

in jedem Punkt lokal homöomorph zu einem offenen reellen Intervall sind. D.h. dass es zu jedem Punkt eine offene Umgebung , ein offenes Intervall und eine stetige Bijektion

gibt (wobei die Faser von durch bezeichnet), deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion und es sei ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung derart, dass ist für alle , . Zeige, dass dann in ein isoliertes lokales Extremum besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

im Punkt . Man gebe eine differenzierbare Abbildung

an, wobei eine möglichst große offene Teilmenge des Tangentialraumes an die Faser von durch ist, die eine Bijektion zwischen und stiftet ( offen).




Aufgaben zum Hochladen

Aufgabe (3 Punkte)

Sei

Man fertige eine Skizze an, die die Fasern, die Tangentialräume und lokale Diffeomorphismen zwischen Tangentialraum und Faser sichtbar macht.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei

Man fertige Skizzen für den (1) Graph und (2) die Fasern und die Tangentialräume dieser Abbildung an.


Aufgabe * (8 Punkte)

Man fertige eine Animation an, die den Banachschen Fixpunktsatz anhand eines „Karte in der Karte“-Modells illustriert.



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