Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 51

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und ${}L\times M$ ihre Produktmenge. Beschreibe die Faser der Projektion

$L\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto y,$

über einem Punkt ${}y\in M$. Kann die Faser leer sein?

Aufgabe

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-x^{2}-2x+2.$

Für welche Punkte ${}P\in \mathbb {R}$ ist ${}\varphi$ regulär? Was besagt der Satz über implizite Abbildungen in dieser Situation? Wie sieht lokal die Faser in einem regulären Punkt aus? Kann es leere Fasern geben? Bestimme die Faser über ${}0$.

Aufgabe

Seien ${}L_{1},\ldots ,L_{n}$ und ${}M_{1},\ldots ,M_{n}$ Mengen und seien

$\varphi _{i}\colon L_{i}\longrightarrow M_{i}$

Abbildungen. Zu einem Punkt ${}P_{i}\in M_{i}$ sei ${}F_{i}\subseteq L_{i}$ die Faser von ${}\varphi _{i}$ über ${}P_{i}$. Zeige, dass die Faser der Produktabbildung ${}\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}$ über ${}P=(P_{1},\ldots ,P_{n})$ gleich ${}F_{1}\times \cdots \times F_{n}$ ist.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

zwei stetig differenzierbare Funktionen, deren Ableitungen ${}f'$ und ${}g'$ stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x)+g(y),$

stetig differenzierbar und in jedem Punkt regulär ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der Fasern von ${}\varphi$ als Graph an.

Aufgabe

Beschreibe die Fasern der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy.$

Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen ${}\mathbb {R}$ und den Fasern von ${}\varphi$ an.

Aufgabe

Beschreibe die Fasern der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$

Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen offenen Intervallen ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und (möglichst großen) offenen Teilmengen der Fasern von ${}\varphi$ an.

Aufgabe

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy.$

Aufgabe

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, für die in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$

${}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}\varphi (P)=0\,$

gelte. Zeige, dass es dann Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

derart gibt, dass

${}\varphi (x,y)=f(x)+g(y)\,$

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Fasern der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{3},$

in jedem Punkt ${}P=(x,y)$ lokal homöomorph zu einem offenen reellen Intervall sind. D.h. dass es zu jedem Punkt ${}P=(x,y)$ eine offene Umgebung ${}(x,y)\in U$, ein offenes Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und eine stetige Bijektion

$I\longrightarrow U\cap F_{P},$

gibt (wobei ${}F_{P}$ die Faser von ${}\varphi$ durch ${}P$ bezeichnet), deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion und es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung ${}P\in U$ derart, dass ${}\varphi (Q)\neq \varphi (P)$ ist für alle ${}Q\in U$, ${}Q\neq P$. Zeige, dass dann ${}\varphi$ in ${}P$ ein isoliertes lokales Extremum besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2},$

im Punkt ${}P=(1,-1,2)$. Man gebe eine differenzierbare Abbildung

$\psi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

an, wobei ${}U$ eine möglichst große offene Teilmenge des Tangentialraumes ${}T_{P}F$ an die Faser ${}F_{P}$ von ${}\varphi$ durch ${}P$ ist, die eine Bijektion zwischen ${}U$ und ${}V\cap F_{P}$ stiftet ($P\in V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen).

Aufgaben zum Hochladen

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

Man fertige eine Skizze an, die die Fasern, die Tangentialräume und lokale Diffeomorphismen zwischen Tangentialraum und Faser sichtbar macht.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{y}.$

Man fertige Skizzen für den (1) Graph und (2) die Fasern und die Tangentialräume dieser Abbildung an.

Aufgabe * (8 Punkte)

Man fertige eine Animation an, die den Banachschen Fixpunktsatz anhand eines „Karte in der Karte“-Modells illustriert.