Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 52/latex

\setcounter{section}{52}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für die folgenden Kurven \maabbdisp {\gamma} {\R} {\R^2 } {} Abbildungen \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R } {} derart, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $\gamma$ genau die \definitionsverweis {Faser}{}{} von $\varphi$ über $0$ ist. \aufzaehlungdrei{
\mathl{\gamma(t) =(t,t^3)}{.} }{
\mathl{\gamma(t) =(t^3,t^3+1)}{.} }{
\mathl{\gamma(t) =( \cos t , \sin t )}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^m } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} und
\mathl{F \subseteq \R^n}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} über
\mathl{P \in \R^m}{.} Zeige, dass es auch eine stetige Abbildung \maabbdisp {\psi} {\R^n} {\R } {} derart gibt, dass $F$ die Faser von $\psi$ über einem Punkt $a \in \R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} und
\mathl{U \subseteq V}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} in einen weiteren reellen endlichdimensionalen Vektorraum $W$ derart gibt, dass $U$ die \definitionsverweis {Faser}{}{} über
\mathl{0 \in W}{} ist und dass $\varphi$ in jedem Punkt
\mathl{v \in V}{} \definitionsverweis {regulär}{}{} ist.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Soccer_field_-_empty.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Soccer field - empty.svg } {} {Nuno Tavares} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

Ein Fußballfeld soll in einen Park mit Erhebungen und mit Senken umgewandelt werden. Dabei sollen die Linien unverändert bleiben und alle anderen Punkte sollen ihre Höhe ändern. Ist dabei jede Vorgabe, welche umrandeten Gebiete erhöht oder gesenkt werden sollen, möglich? Ist jedes solche Vorhaben durch eine stetige oder eine differenzierbare Höhenfunktion durchführbar? Können im differenzierbaren Fall alle Punkte \definitionsverweis {regulär}{}{} sein?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{G \subseteq \R^n}{} offen und \maabbdisp {\varphi} {G} {\R^m } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{,} die im Punkt
\mathl{P\in G}{} ein surjektives \definitionsverweis {totales Differential}{}{} besitze. Es sei \maabbdisp {\psi} {U} {\R^n } {} \zusatzklammer {mit
\mathl{U \subseteq \R^{n-m}}{} offen} {} {} ein lokaler \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} auf die Faser durch $P$, bei dem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf $P$ abgebildet wird. Zeige, dass man den \definitionsverweis {Tangentialraum an die Faser}{}{} durch $P$ auch als
\mathdisp {{ \left\{ P+ { \left( D\psi \right) }_{Q} { \left( u \right) } \mid u \in \R^{n-m} \right\} }} { }
beschreiben kann.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} an die Faser im Punkt
\mathl{(2,-1,3)}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} {\left( x^2e^z-y^3 , \, { \frac{ x }{ e^{yz} } } \right) } {,} und zwar sowohl durch lineare Gleichungen als auch durch eine parametrisierte Gerade.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x,xy) } {.} Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{,} die \definitionsverweis {Fasern}{}{,} das \definitionsverweis {Bild}{}{} und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung. Man gebe möglichst große offene Mengen
\mathl{U_1 , U_2 \subseteq \R^2}{} derart an, dass \maabbdisp {\varphi {{|}}_{U_1}} {U_1} {U_2 } {} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} {(xy,yz) } {.} Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{,} die Fasern, das \definitionsverweis {Bild}{}{} und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2 \cdot \sin y - y \cdot \cos (xy) } {.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Faser}{}{} durch den Punkt
\mathl{P=(2,3)}{} sich lokal durch eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbeledisp {\gamma} {I} {\R^2 } {t} { \gamma(t) } {,} mit
\mathl{\gamma(0)=P}{} parametrisieren lässt, und bestimme die möglichen Werte der \definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mathl{\gamma'(0)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {\varphi_1, \varphi_2} {\R^n} {\R } {} \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{} und seien \mathkor {} {F_1} {und} {F_2} {} \definitionsverweis {Fasern}{}{} dieser Abbildungen, d.h. es sei
\mathl{F_1= \varphi_1^{-1}(b_1)}{} und
\mathl{F_2= \varphi_2^{-1}(b_2)}{} \zusatzklammer {für gewisse
\mathl{b_1,b_2 \in \R}{}} {} {.} Zeige, dass es eine stetige Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R } {} und ein
\mathl{a \in \R}{} derart gibt, dass $F_1 \cup F_2 = \varphi^{-1} (a)$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe explizit eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R_{\geq 0} } {} derart, dass die \definitionsverweis {Faser}{}{} von $\varphi$ über $0$ gleich
\mathl{I= { \left\{ (x,0) \mid x \in [0,1] \right\} }}{} ist.

}
{} {}