Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 53

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei eine Menge und ein euklidischer Vektorraum. Es sei versehen mit der Supremumsnorm. Beweise die folgenden Eigenschaften für diese „Norm“ (dabei ist der Wert erlaubt und sinnvoll zu interpretieren).

  1. für alle .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. Für und gilt
  4. Für gilt


Aufgabe

Es sei

die Menge der stetigen Funktionen, die mit der Supremumsnorm versehen sei. Skizziere zu die offene und die abgeschlossene -Umgebung von einem .


Aufgabe

Formuliere und beweise den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für stetige Kurven

wobei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum sei.


Aufgabe

Wie löst man eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem stetigen ortsunabhängigen Vektorfeld


Aufgabe

Sei

ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle und die Beziehung gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems

ganz in verläuft.


Die nächste Aufgabe knüpft an Aufgabe 22.21 an.

Aufgabe

Im Nullpunkt befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch bestimmte Ebene sei die Netzhaut (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung

die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung differenzierbar? Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär, wie sehen die Fasern aus?


In der speziellen Relativitätstheorie ist auf dem die Lorentz-Form

wichtig, wobei die Lichtgeschwindigkeit repräsentiert. Diese Form ist eine nicht-ausgeartete Bilinearform vom Typ . Sie erlaubt es, die „Welt“ in lichtartige, zeitartige und raumartige Vektoren aufzuteilen, und den Zusammenhang dieser fundamentalen Größen zu verstehen. Die zugehörige quadratische Form ist die Abbildung

Ein Vektor heißt zeitartig, wenn ist, lichtartig, wenn ist und raumartig, wenn ist.

Mathematisch setzt man im Allgemeinen .

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die regulären Punkte und die Fasern dieser Abbildung.


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die regulären Punkte und die Fasern dieser Abbildung.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

Bestimme für jedes die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes
Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?


Aufgabe (3 Punkte)

Finde für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

Lösungen mit und , wobei sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine kompakte Teilmenge und ein euklidischer Vektorraum. Es sei der Raum der stetigen Abbildungen von nach , versehen mit der Supremumsnorm. Es seien und Punkte. Zeige, dass die Teilmenge

abgeschlossen in ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei abgeschlossen und beschränkt, und sei ein vollständiger metrischer Raum. Sei die Menge der stetigen Abbildungen von nach . Definiere eine Metrik auf derart, dass selbst zu einem vollständigen metrischen Raum wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das Integral zu einer stetigen Kurve

in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum unabhängig von der gewählten Basis ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis

Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über , und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

zum ortsunabhängigen Vektorfeld



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