Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 52

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Beispiel  

Wir betrachten die Abbildung

und knüpfen an Beispiel ***** an. Der einzige kritische Punkt ist , ansonsten ist die Abbildung in jedem Punkt regulär und daher lassen sich lokal die Fasern als Graphen beschreiben. Die Faser über besteht aus der durch gegebenen Geraden und der durch gegebenen Halbgeraden, die sich im kritischen Punkt senkrecht schneiden. Ansonsten sind die Fasern durch die Gleichung

mit einem bestimmt (für nichtpositives sind die Fasern leer). Wir schreiben diese Bedingung als und daher als

Bei kann man dies zu

auflösen und bei zu




Der Satz über die injektive Abbildung

Als ein weiteres Korollar aus dem Satz über die Umkehrabbildung besprechen wir die Situation, wo das totale Differential injektiv ist.



Satz  

Seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei offen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt, in dem das totale Differential injektiv sei.

Dann gibt es eine offene Umgebung , , derart, dass injektiv ist.

Beweis  

Es sei und . Es sei das Bild des totalen Differentials . Nach Lemma 12.5  (1) ist ein Untervektorraum der Dimension . Wir ergänzen eine Basis von durch zu einer Basis von und setzen . Wir betrachten die Abbildung

wobei links und rechts zwei -dimensionale Vektorräume stehen. Diese Abbildung kann man als die Hintereinanderschaltung

auffassen. Daher ist die Gesamtabbildung stetig differenzierbar und das totale Differential ist , wobei die lineare Einbettung des Unterraums ist. Dieses totale Differential ist surjektiv im Punkt , da sowohl als auch zum Bild gehören, und somit bijektiv. Wir können also den Satz über die Umkehrabbildung anwenden und erhalten offene Mengen und derart, dass ein Diffeomorphismus zwischen und ist. Dies können wir einschränken auf eine offene Menge der Form mit und . Dann ist die Abbildung

injektiv, da dies die Hintereinanderschaltung

mit ist.




Vektorfelder

Wir kehren nun zu gewöhnlichen Differentialgleichungen zurück, wobei wir im Unterschied zu den beiden Vorlesungen 37 und 38 erlauben, dass die Lösungskurven Kurven in einem höherdimensionalen Vektorraum sind. Mit gewöhnlich wird ausgedrückt, dass die Definitionsmengen der Lösungen eindimensional sind (Differentialgleichungen, deren Lösungen eine höherdimensionale Definitionsmenge ist, heißen partielle Differentialgleichungen). Wir werden zuerst beschreiben, welche Daten eine gewöhnliche Differentialgleichung auszeichnen und dann einen allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösung beweisen, den Satz von Picard-Lindelöf. Später werden wir uns hauptsächlich auf lineare Differentialgleichungssysteme beschränken.


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall und eine offene Menge. Dann nennt man eine Abbildung

ein Vektorfeld (auf ).

VectorField.svg

Die übliche physikalische Interpretation ist hierbei, dass die Zeit repräsentiert, den Ort und einen Vektor, der zum Zeitpunkt an den Ortspunkt angeheftet ist und dort eine Richtung vorgibt. Manchmal spricht man auch von einem Richtungsfeld. Im physikalischen Kontext werden die Vektoren als Geschwindigkeitsvektoren, als Kraftvektoren oder als Beschleunigungsvektoren interpretiert.

Wenn das Vektorfeld nicht von abhängt, so spricht man von einem zeitunabhängigen oder autonomen Vektorfeld.



Gewöhnliche Differentialgleichungen

Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Dann nennt man

die gewöhnliche Differentialgleichung (oder gewöhnliches Differentialgleichungssystem) zum Vektorfeld .

(Zeitabhängige) Vektorfelder und gewöhnliche Differentialgleichungssysteme sind im Wesentlichen äquivalente Objekte. Man spricht auch von einem dynamischen System. Von Differentialgleichungen spricht man insbesondere dann, wenn man sich für die Lösungen im Sinne der folgenden Definition interessiert.


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

heißt eine Abbildung

auf einem offenen (Teil)Intervall[1] eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Es ist für alle .
  2. Die Abbildung ist differenzierbar.
  3. Es ist für alle .

Eine Lösung ist also eine differenzierbare Kurve, d.h. eine (orts-)vektorwertige Abbildung

Wenn ist, so wird eine solche Abbildung durch ihre Komponenten

beschrieben. Ebenso wird das Vektorfeld durch , von und abhängige Funktionen beschrieben. Die Differentialgleichung lautet dann ausgeschrieben

Daher spricht man auch von einem Differentialgleichungssystem.

Häufig soll eine Kurve nicht nur eine Differentialgleichung erfüllen, sondern sich zusätzlich zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort befinden. Dies führt zum Begriff des Anfangswertproblems.


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Es sei gegeben. Dann nennt man

das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung .


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Es sei vorgegeben. Dann nennt man eine Abbildung

auf einem Intervall mit eine Lösung des Anfangswertproblems

wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

gilt.



Lipschitz-Bedingungen

Für den Satz von Picard-Lindelöf wird die Voraussetzung wesentlich sein, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl gibt mit

für alle und .

Die reelle Zahl nennt man auch eine Lipschitz-Konstante für das Vektorfeld .


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt eine offene Umgebung

derart gibt, dass das auf eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Die folgende Aussage liefert ein wichtiges und leicht überprüfbares hinreichendes Kriterium, wann ein Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.



Lemma  

Es sei ein reelles offenes Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf derart, dass die partiellen Ableitungen nach existieren und stetig sind.

Dann genügt lokal einer Lipschitz-Bedingung.

Beweis  

Sei ein Punkt in und sei
eine offene Umgebung von innerhalb von derart, dass auch

ist. Dieses ist eine abgeschlossene Umgebung von und daher kompakt. Da die partiellen Ableitungen nach Voraussetzung stetig sind, gibt es nach Satz 22.7 eine gemeinsame Schranke mit

für alle . Daher gibt es für die Matrizen eine Schranke mit

Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt Lemma 49.3 anwenden und erhält für die Abschätzung



Fußnoten
  1. Rein formal gesehen ist hier auch das leere Intervall zugelassen, wobei diese „leere Lösung“ natürlich uninteressant ist. Bei einem Anfangswertproblem sichert bereits die Anfangsbedingung, dass die Lösung nicht leer ist.



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