Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine stetige Funktion.
Dann ist
Riemann-integrierbar.
Es sei ein
kompaktes Intervall
und sei
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein
mit
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine
stetige Funktion. Es sei
und es sei
die zugehörige Integralfunktion.
Dann ist
differenzierbar
und es gilt
für alle
.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine stetige Funktion.
Dann besitzt eine
Stammfunktion.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine
stetige Funktion, für die eine
Stammfunktion
sei.
Dann gilt für
die Gleichheit
Es sei
eine in
konvergente
Potenzreihe.
Dann ist die Potenzreihe
ebenfalls in konvergent und stellt dort eine
Stammfunktion
für
dar.
Es seien
stetig differenzierbare Funktionen.
Dann gilt
Es sei
eine
bijektive
differenzierbare Funktion
und es sei
eine
Stammfunktion
von
.
Dann ist
eine Stammfunktion der
Umkehrfunktion
.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine stetige Funktion. Es sei
stetig differenzierbar.
Dann gilt
Es sei
(mit
)
ein quadratisches
Polynom ohne reelle Nullstelle
(d.h., dass
ist).
Dann ist
eine Stammfunktion von
und für
gilt die Rekursionsformel
Es seien
,
,
Polynome
und es sei
mit verschiedenen
.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom
und eindeutig bestimmte Koeffizienten
,
,
,
mit
Es seien
,
,
Polynome und es sei
mit verschiedenen
und verschiedenen quadratischen Polynomen
ohne reelle Nullstellen.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom
und eindeutig bestimmte Koeffizienten
,
,
,
und eindeutig bestimmte
lineare Polynome
,
,
, mit
Es sei
eine gleichmäßig konvergente Folge von stetigen Funktionen mit der Grenzfunktion
Dann gilt die Beziehung
Es sei ein
metrischer Raum und
ein
kompaktes Intervall.
Es sei
eine stetige Funktion.
Dann ist auch die Funktion
stetig.
Es sei
ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei
eine
stetige
fallende Funktion
mit
für alle
.
Dann existiert das uneigentliche Integral
genau dann, wenn die Reihe
konvergiert.
Die Fakultätsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.
- Es ist
für
.
- Es ist
.
- Es ist
für natürliche Zahlen
.
- Es ist
.
Es sei
eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer stetigen Funktion
die auf einem
Intervall
definiert sei. Es sei
eine
Stammfunktion
zu
auf
.
Dann sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich
Das Anfangswertproblem
(mit )
besitzt eine eindeutige Lösung.
Es sei
eine
inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit
stetigen Funktionen
.
Es sei
eine
Stammfunktion
von
und es sei
eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung.
Dann sind die Lösungen
(auf )
der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen
wobei eine Stammfunktion zu
ist.
Das Anfangswertproblem
(mit )
besitzt eine eindeutige Lösung.
Es sei
eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit stetigen Funktionen
und
wobei keine Nullstelle besitze. Es sei
eine
Stammfunktion
von
und
eine Stammfunktion von
. Weiter sei
ein Teilintervall mit
.
Dann ist eine
bijektive Funktion
auf sein Bild
und die
Lösungen
dieser Differentialgleichung haben die Form
Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung
gegeben ist, und wenn die Stammfunktionen die zusätzlichen Eigenschaften
und
erfüllen, so ist
die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems.
Es sei ein
reelles
Intervall,
ein
euklidischer Vektorraum
und
eine
Abbildung.
Es sei eine
Basis
von
und es seien
die zugehörigen
Komponentenfunktionen
von . Es sei
.
Dann ist genau dann
differenzierbar
in
, wenn sämtliche Funktionen
in
differenzierbar
sind.
In diesem Fall gilt
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und
eine differenzierbare Kurve.
Dann gibt es ein
mit
Es sei ein
kompaktes Intervall
und
eine stetig differenzierbare Abbildung.
Dann ist
rektifizierbar
und für die
Kurvenlänge
gilt
Es sei ein
kompaktes
Intervall
und es sei
eine stetig differenzierbare Funktion.
Dann ist die
Länge
des
Graphen
von gleich
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
sei
offen,
ein Punkt,
ein Vektor und seien
Abbildungen, die im Punkt in Richtung
differenzierbar
seien. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Summe
ist ebenfalls differenzierbar in Richtung
mit
-
- Das Produkt
mit
ist ebenfalls differenzierbar in Richtung
mit
-
- Die Funktion
ist auch in Richtung
mit
differenzierbar und es gilt
-
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
sei
offen,
ein Punkt und sei
ein Vektor. Es sei
eine Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es sei
der Produktraum
aus endlichdimensionalen Vektorräumen
. Dann ist
genau dann in
differenzierbar in Richtung
, wenn sämtliche Komponentenabbildungen
in
in Richtung
differenzierbar sind. In diesem Fall gilt
-
- Es sei
eine Basis von
mit den Koordinaten
Dann ist
in
in Richtung
genau dann differenzierbar, wenn sämtliche Komponentenfunktionen
in
in Richtung
differenzierbar sind. In diesem Fall ist
-
Es sei
offen,
ein Punkt und sei
eine Abbildung.
Dann ist in
genau dann
partiell differenzierbar,
wenn die
Richtungsableitungen
von sämtlichen Komponentenfunktionen
in
in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
In diesem Fall stimmt die -te partielle Ableitung
von
in
mit der
Richtungsableitung
von
in
in Richtung des
-ten Standardvektors
überein, und
ist in
genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen in
in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
Es sei
offen und
eine Abbildung derart, dass für
die zweiten Richtungsableitungen
und
existieren und stetig sind.
Dann gilt
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume
und
eine
offene Teilmenge. Es sei
eine in
differenzierbare Abbildung.
Dann ist auch
stetig
im Punkt
.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
und
offene Mengen,
und
und
Abbildungen derart, dass
gilt. Es sei weiter angenommen, dass
in
und
in
total differenzierbar
ist.
Dann ist
in
differenzierbar mit dem
totalen Differential
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
es sei
eine
offene Teilmenge
und
eine im Punkt
differenzierbare Abbildung.
Dann ist in
in jede Richtung
differenzierbar,
und es gilt
Es sei
offen und
eine Abbildung. Es seien
,
,
die Koordinaten von
und
ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle
partiellen Ableitungen
von
in einer
offenen Umgebung
von
existieren und in
stetig
sind.
Dann ist in
(total) differenzierbar.
Ist die Abbildung bezüglich der
Standardbasis
des
durch die
Koordinatenfunktionen
gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in
durch die
Jacobi-Matrix
beschrieben.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum, der mit einer
Bilinearform
versehen sei. Dann gelten folgende Aussagen
- Für jeden Vektor
sind die Zuordnungen
und
- linear.
-
- Die Zuordnung
ist
-linear.
-
- Wenn
nicht ausgeartet ist, so ist die Zuordnung in (2) injektiv. Ist
zusätzlich endlichdimensional, so ist diese Zuordnung bijektiv.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum,
sei
offen
und sei
eine in
differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
- Für jeden Vektor
ist
-
- Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn
linear abhängig zum Gradienten ist.
- Sei
. Unter allen Vektoren
mit
ist die Richtungsableitung in Richtung des normierten Gradienten maximal, und zwar gleich der Norm des Gradienten.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum
und
eine
offene
Teilmenge. Es sei
eine
Funktion,
die im Punkt
ein
lokales Extremum
besitzt. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn
in
in Richtung
differenzierbar ist, so ist
-
- Wenn
in
total differenzierbar ist, so verschwindet das totale Differential, also
-
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum
mit einer
symmetrischen
Bilinearform
vom
Typ
.
Dann ist die
Gramsche Matrix
von bezüglich einer jeden
Orthogonalbasis
eine
Diagonalmatrix
mit
positiven und
negativen Einträgen.
Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei
eine
Basis
von
. Es sei
die
Gramsche Matrix
zu
bezüglich dieser Basis. Die
Determinanten
der
quadratischen
Untermatrizen
seien für
von
verschieden. Es sei
die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
Dann ist vom
Typ
.
Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei
eine
Basis
von
. Es sei
die
Gramsche Matrix
zu
bezüglich dieser Basis und es seien
die
Determinanten
der
quadratischen
Untermatrizen
- Genau dann ist
positiv definit, wenn alle
positiv sind.
- Genau dann ist
negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge
an jeder Stelle wechselt.
Es sei
offen,
stetig differenzierbare Funktion,
ein Punkt und
eine fixierte Richtung. Es sei
wobei ein offenes Intervall um
sei mit
für alle
.
Dann ist ebenfalls
-mal
stetig differenzierbar,
und es gilt
für alle
.
Es sei
offen,
stetig differenzierbare Funktion,
ein Punkt und
derart, dass die Strecke von
nach
ganz in
liegt. Dann gibt es ein
mit
Es sei
offen,
stetig differenzierbare
Funktion,
ein Punkt und
derart, dass
ist.
Dann gilt für alle mit
die Beziehung
wobei
ist.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
eine
offene
Teilmenge
und
eine zweimal
stetig differenzierbare
Funktion. Es sei
ein Punkt, in dem die
Hesse-Form
positiv (negativ) definit
sei.
Dann gibt es eine offene Umgebung
,
,
derart, dass die Hesse-Form
in jedem Punkt
positiv
(negativ)
definit ist.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
eine
offene
Teilmenge
und
eine zweimal
stetig differenzierbare
Funktion.
Es sei
mit
. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn
negativ definit ist, so besitzt
ein isoliertes lokales Maximum in
.
- Wenn
positiv definit ist, so besitzt
ein isoliertes lokales Minimum in
.
- Wenn
indefinit ist, so besitzt
in
weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.
Es sei ein nicht-leerer
vollständiger
metrischer Raum
und
stark kontrahierende Abbildung.
Dann besitzt genau einen
Fixpunkt.
Es seien
und
endlichdimensionale
reelle Vektorräume,
sei
offen
und es sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung. Es sei
ein Punkt derart, dass das
totale Differential
bijektiv ist.
Dann gibt es eine offene Menge
und eine offene Menge
mit
und mit
derart, dass
eine
Bijektion
induziert, und dass die Umkehrabbildung
ebenfalls stetig differenzierbar ist.
Es sei
offen
und sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung.
Es sei
und es sei
die
Faser durch
. Das
totale Differential
sei
surjektiv.
Dann gibt es eine offene Menge
,
,
eine offene Menge
und eine stetig differenzierbare Abbildung
derart, dass
ist und
eine
Bijektion
induziert.
Die Abbildung ist in jedem Punkt
regulär
und für das
totale Differential
von
gilt
Es seien
und
endlichdimensionale
reelle Vektorräume,
sei
offen
und sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung.
Es sei
ein Punkt, in dem das
totale Differential
injektiv
sei.
Dann gibt es eine
offene Umgebung
,
,
derart, dass
injektiv ist.
Es sei
ein
reelles
offenes Intervall,
eine
offene Menge
und
ein
Vektorfeld
auf derart, dass die
partiellen Ableitungen
nach
existieren und
stetig
sind.
Dann genügt
lokal einer Lipschitz-Bedingung.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und
eine stetige Abbildung.
Dann gilt
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
ein stetiges
Vektorfeld
auf . Es sei
vorgegeben.
Dann ist eine stetige Abbildung
auf einem
Intervall
mit
genau dann eine
Lösung des Anfangswertproblems
(insbesondere muss
differenzierbar sein)
wenn die Integralgleichung
erfüllt.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
ein
Vektorfeld
auf . Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld
stetig
sei und
lokal einer Lipschitz-Bedingung
genüge.
Dann gibt es zu jedem
ein
offenes Intervall
mit
derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige
Lösung für das Anfangswertproblem
existiert.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
ein stetiges
Vektorfeld
auf das
lokal einer Lipschitz-Bedingung
genügt. Es sei
ein offenes Teilintervall und es seien
Lösungen des Anfangswertproblems
Dann ist
.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum,
offen,
eine differenzierbare Funktion und
das zugehörige Gradientenfeld. Es sei
eine Lösung der Differentialgleichung
Dann steht
senkrecht
auf dem
Tangentialraum
der
Faser
von
durch
für
,
für die
reguläre Punkte
von
sind.
Es sei
ein
Intervall,
eine
offene Menge
und
eine Funktion.
Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung
über die Beziehung
äquivalent zum Differentialgleichungssystem
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist trigonalisierbar.
- Die Abbildung
wird bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben.
- Das
charakteristische Polynom
zerfällt in Linearfaktoren.
Wenn trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix
beschrieben wird, so gibt es eine
invertierbare Matrix
derart, dass
eine
obere Dreiecksmatrix
ist.
Es sei
mit
ein
homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Dann gibt es eine
invertierbare Matrix
derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem
obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form
(mit
)
ist.
Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem
Lösungsverfahren
für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen
für
gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.
Es sei
mit
eine
lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten mit der Anfangsbedingung
,
.
Dann gibt es genau eine auf definierte
Lösung
für dieses Anfangswertproblem.
Es sei
mit
ein
homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Dann ist die Menge der Lösungen
ein
-
dimensionaler
-
Vektorraum.