Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 71/latex

\setcounter{section}{71}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {Ausschöpfung}{}{}
\mathl{M_n \uparrow M}{} und sei \maabbdisp {f_n} {M} {\R } {} eine \definitionsverweis {wachsende}{}{} \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {nichtnegativen}{}{} \definitionsverweis {messbaren Funktionen}{}{} mit der \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{} \maabbdisp {f} {M} { \overline{ \R } } {.} Zeige, dass
\mathl{S^o(M_n;f_n)}{} eine Ausschöpfung von
\mathl{S^o(M;f)}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbdisp {f_n} {\R} {\R } {} mit
\mathl{f_n= 1 - { \frac{ 1 }{ n } }}{} \zusatzklammer {\mathlk{n \in \N_+}{}} {} {.} Es sei $f$ die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{.} Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcup_{n \in \N_+} S(f_n) }
{ =} {S(f) \setminus \Gamma_f }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein $\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{,} sei
\mathl{f}{} eine \definitionsverweis {integrierbare}{}{} \definitionsverweis {nichtnegative}{}{} \definitionsverweis {numerische Funktionen}{}{} auf $M$ und $a \in \R_{\geq 0}$. Zeige, dass auch $af$ integrierbar ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } af \, d \mu }
{ =} {a \cdot\int_{ M } f \, d \mu }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R } {t} {1-t^2 } {.} Für welches
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt die zugehörige zweistufige \zusatzklammer {maximale} {} {} \definitionsverweis {untere Treppenfunktion}{}{} zu $f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $\overline{ \R }$. Zeige, dass die Folge genau dann \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) } }
{ =} { \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $\overline{ \R }$ und sei
\mathdisp {y_n := \inf { \left( x_k, \, k \geq n \right) }} { . }

a) Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} \definitionsverweis {wachsend}{}{} ist.

b) Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen
\mathl{\operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) }}{} \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} und sei \maabbdisp {f_n} {M} { \overline{ \R } } {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {messbaren Funktionen}{}{.} Zeige, dass dann auch die Funktionen \maabbeledisp {\operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( f_n \right) }_{n \in \N } \right) }} {M} { \overline{ \R } } {x} { \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N } \right) } } {,} und \maabbeledisp {\operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( f_n \right) }_{n \in \N } \right) }} {M} { \overline{ \R } } {x} { \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N } \right) } } {,} \definitionsverweis {messbar}{}{} sind.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {integrierbaren Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {,} für die das Integral nicht das \definitionsverweis {Supremum}{}{} über alle \definitionsverweis {Treppenintegrale}{}{} zu \definitionsverweis {unteren Treppenfunktionen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5 (2+3)}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {[0,1]} {[0,1] } {x} {x^2 } {.} Berechne für
\mathl{n=1,2 , \ldots , 5}{} das \definitionsverweis {Supremum}{}{} der Integrale zu den folgenden \definitionsverweis {einfachen Funktionen}{}{.}

a) Die Funktionen $g \leq f$, die auf den $n$ Teilintervallen
\mathl{[ { \frac{ k }{ n } }, { \frac{ k+1 }{ n } }[}{} \zusatzklammer {mit \mathlk{k=0 , \ldots , n-1}{}} {} {} konstant sind.

b) Die Funktionen $h \leq f$, die nur die Werte
\mathl{{ \frac{ k }{ n } }}{} annehmen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R } {t} {1-t^2 } {.} Für welche
\mathbed {x,y \in [0,1]} {}
{x <y} {}
{} {} {} {,} besitzt die zugehörige dreistufige \zusatzklammer {maximale} {} {} \definitionsverweis {untere Treppenfunktion}{}{} zu $f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe soll die Vermutung von Feldschnieders-Günther bewiesen werden.


\inputaufgabe
{6}
{

Es seien drei Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2,v_3 }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} { { \left\{ av_1 +b v_2 +c v_3 \mid a,b,c \in [0,1] \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das davon erzeugte \anfuehrung{Pseudoparallelogramm}{.} Zeige, dass der Flächeninhalt von $S$ gleich der Summe der Flächeninhalte der drei Parallelogramme ist, die von je zwei der beteiligten Vektoren aufgespannt werden.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Nachtragsaufgabe}

Die folgende Aufgabe (Aufgabe 66.4) wurde vereinzelt zu großzügig korrigiert. Wer die Aufgabe bearbeitet hat und keine fünf Punkte bekommen hat, darf sie erneut einreichen (bitte alte Lösung mit anheften, Korrektur übernimmt Jan Uliczka).


\inputaufgabe
{5}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {offene}{}{} \definitionsverweis {Einheitskreisscheibe}{}{} nicht zum \definitionsverweis {Produktpräring}{}{} von \mathkor {} {(\R, \mathfrak {P} \, (\R ) )} {und} {(\R, \mathfrak {P} \, (\R ) )} {} gehört.

}
{} {}