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Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 70

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In diesem Arbeitsblatt geht es ausschließlich um das Lebesgue-Integral, es darf nicht mit dem Riemann-Integral argumentiert werden.



Aufwärmaufgaben

Es seien und Mengen und es seien

und

Abbildungen. Zeige, dass für die Subgraphen die Beziehung

gilt.



Zeige, dass das Integral einer messbaren Funktion über einer Nullmenge gleich ist.



Zeige, dass das Integral der Nullfunktion gleich ist.



Es sei eine abzählbare Menge, die mit dem Zählmaß versehen sei, und sei

eine Funktion. Zeige, dass genau dann integrierbar ist, wenn die Familie , , summierbar ist, und dass in diesem Fall das Integral gleich der Summe ist.



Bestimme den Flächeninhalt des Subgraphen zur linearen Funktion

über dem Intervall mit .



Bestimme den Flächeninhalt des Subgraphen zur Funktion

über dem Intervall .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine kompakte Teilmenge und sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass integrierbar ist. Man gebe auch eine Abschätzung für das Integral an.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein - endlicher Maßraum. Zeige, dass für jedes die Abbildung

maßtreu ist.



Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Volumen des Subgraphen zur linearen Funktion

(mit ) über dem Einheitsquadrat .



Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Für welches ist die Tschebyschow-Abschätzung für diese Funktion am besten? Bestimme numerisch bis auf Nachkommastellen.



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