Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 75/latex
\setcounter{section}{75}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Annulus.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Annulus.svg } {} {Nandhp} {Commons} {PD} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Flächeninhalt eines \definitionsverweis {Annulus}{}{} gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y^2,-y^4-2xy^2-x^2+y^2+x+y) } {,} \definitionsverweis {flächentreu}{}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{,}
es sei
\maabbdisp {g} {M} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare}{}{}
\definitionsverweis {nichtnegative}{}{}
\definitionsverweis {integrierbare Funktion}{}{}
und sei $g\mu$ das Maß zur
\definitionsverweis {Dichte}{}{}
$g$. Zeige, dass für jede messbare Funktion
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } f \, d (g \mu)
}
{ =} { \int_{ M } fg \, d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es seien
\mathbed {(M, {\mathcal A }, \mu)} {und}
{(N, {\mathcal B }, \nu)} {}
{} {} {} {}
$\sigma$-\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Maßräume}{}{,}
und es seien
\maabbdisp {g} {M} {\R
} {}
und
\maabbdisp {h} {N} {\R
} {}
\definitionsverweis {messbare}{}{}
\definitionsverweis {nichtnegative}{}{}
\definitionsverweis {integrierbare Funktionen}{}{}
mit den zu diesen
\definitionsverweis {Dichten}{}{}
gehörigen Maßen
\mathkor {} {g \mu} {und} {h \nu} {.}
Zeige, dass auf
\mathl{M \times N}{} das
\definitionsverweis {Produktmaß}{}{}
\mathl{(g \mu) \otimes (h \nu)}{} mit dem Maß zur Dichte
\maabbeledisp {gh} {M \times N} {\R
} {(x,y)} { g(x)h(y)
} {,}
bezüglich
\mathl{\mu \otimes \nu}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Berechne den Wert des Quadrats
\mathl{{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid \betrag { x }, \betrag { y } \leq 1 \right\} }}{} für das
\definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
\mathl{\mu= \varphi_*\lambda^2}{} unter der Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(x,y)} {(x+y,xy)
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{7 (3+2+2)}
{
Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} {[0,10]} {\R } {x} {x^2 } {,} und interessieren uns für die Straße der Breite $1$, deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.
a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge $1$ \zusatzklammer {mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen} {} {} untereinander überschneidungsfrei sind.
b) Man gebe eine \zusatzklammer {möglichst einfache} {} {} Parametrisierung der Straße an.
c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.
}
{} {}
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