Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 76

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(u,v)\longmapsto \left({\frac {-u}{u^{2}+v^{2}}},\,{\frac {-v}{u^{2}+v^{2}}}\right),

ein Diffeomorphismus ist.

Auf einer Kugeloberfläche ${}K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ nennt man einen Durchschnitt von ${}K$ mit einer Ebene, die durch den Kugelmittelpunkt läuft, einen Großkreis auf ${}K$ . Zwei Punkte ${}P,Q\in K$ , ${}P\neq Q$ , heißen antipodal, wenn ihre Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt läuft.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine Kugeloberfläche. Zeige, dass je zwei nicht antipodale Punkte ${}P,Q\in K$ , ${}P\neq Q$ , auf genau einem Großkreis von ${}K$ liegen.

Aufgabe

Zeige, dass ein offener Ball ${}U{\left(P,r\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ ${}C^{\infty }$ - diffeomorph zum ${}\mathbb {R} ^{m}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Bild der Großkreise durch die beiden Pole auf der Einheitssphäre unter der stereographischen Projektion vom Nordpol aus.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass auf der Einheitssphäre ${}K\subset \mathbb {R} ^{3}$ durch folgende Zuordnung eine Metrik festgelegt wird. Für ${}P,Q\in K$ ist ${}d(P,Q)$ die Länge des (kürzeren) Verbindungsweges von ${}P$ nach ${}Q$ auf dem durch diese Punkte festgelegten Großkreis (berücksichtige auch die Fälle ${}P=Q$ und ${}P,Q$ antipodal).

Aufgabe (8 Punkte)

Wir fixieren die beiden Punkte ${}N=(0,0,1)$ und ${}P=(1,0,0)$ auf der Einheitssphäre ${}K$ . Es sei ${}G$ die Verbindungsgerade und es sei ${}H$ die zu ${}G$ senkrechte Ebene durch ${}N$ . Führe auf ${}H$ einen parametrisierten Einheitskreis ${}E$ mit ${}N$ als Mittelpunkt ein. Bestimme zu ${}S\in E$ die Länge des (kürzeren) Weges von ${}N$ nach ${}P$ auf demjenigen Kreis, der durch den Schnitt von ${}K$ mit der durch ${}N,P$ und ${}S$ gegebenen Ebene festgelegt ist.