Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 76

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

ein Diffeomorphismus ist.


Auf einer Kugeloberfläche nennt man einen Durchschnitt von mit einer Ebene, die durch den Kugelmittelpunkt läuft, einen Großkreis auf . Zwei Punkte , , heißen antipodal, wenn ihre Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt läuft.

Aufgabe

Es sei eine Kugeloberfläche. Zeige, dass je zwei nicht antipodale Punkte , , auf genau einem Großkreis von liegen.


Aufgabe

Zeige, dass ein offener Ball -diffeomorph zum ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Bild der Großkreise durch die beiden Pole auf der Einheitssphäre unter der stereographischen Projektion vom Nordpol aus.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass auf der Einheitssphäre durch folgende Zuordnung eine Metrik festgelegt wird. Für ist die Länge des (kürzeren) Verbindungsweges von nach auf dem durch diese Punkte festgelegten Großkreis (berücksichtige auch die Fälle und antipodal).


Aufgabe (8 Punkte)

Wir fixieren die beiden Punkte und auf der Einheitssphäre . Es sei die Verbindungsgerade und es sei die zu senkrechte Ebene durch . Führe auf einen parametrisierten Einheitskreis mit als Mittelpunkt ein. Bestimme zu die Länge des (kürzeren) Weges von nach auf demjenigen Kreis, der durch den Schnitt von mit der durch und gegebenen Ebene festgelegt ist.




Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe * (6 Punkte)

Erstelle eine Animation, die die geometrischen Objekte aus Aufgabe 76.6 darstellt.



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