Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 75

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.

Aufgabe

Zeige, dass der Flächeninhalt eines Annulus gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y),$

flächentreu ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum, es sei

$g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine messbare nichtnegative integrierbare Funktion und sei ${}g\mu$ das Maß zur Dichte ${}g$. Zeige, dass für jede messbare Funktion

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

die Beziehung

${}\int _{M}f\,d(g\mu )=\int _{M}fg\,d\mu \,$

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$- endliche Maßräume, und es seien

$g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

und

$h\colon N\longrightarrow \mathbb {R}$

messbare nichtnegative integrierbare Funktionen mit den zu diesen Dichten gehörigen Maßen ${}g\mu$ und ${}h\nu$. Zeige, dass auf ${}M\times N$ das Produktmaß ${}(g\mu )\otimes (h\nu )$ mit dem Maß zur Dichte

$gh\colon M\times N\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto g(x)h(y),$

bezüglich ${}\mu \otimes \nu$ übereinstimmt.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Wert des Quadrats ${}{\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {x}\vert ,\vert {y}\vert \leq 1\right\}}$ für das Bildmaß ${}\mu =\varphi _{*}\lambda ^{2}$ unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy).$

Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$[0,10]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

und interessieren uns für die Straße der Breite ${}1$, deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.

a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge ${}1$ (mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen) untereinander überschneidungsfrei sind.

b) Man gebe eine (möglichst einfache) Parametrisierung der Straße an.

c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.