Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 77/latex

\setcounter{section}{77}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbdisp {f,g} {M} {\R } {} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} auf $M$. Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Die Abbildung \maabbeledisp {f \times g} {M} {\R^2 } {x} {(f(x),g(x)) } {,} ist differenzierbar. }{$f+g$ ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} }{$f \cdot g$ ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} }{Wenn $f$ keine Nullstelle besitzt, so ist auch
\mathl{f^{-1}}{} differenzierbar. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass dies einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi^*} {C^1(N,\R)} {C^1(M,\R) } {f} {f \circ \varphi } {,} induziert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {halboffenes Intervall}{}{}
\mathl{[a,b[}{} keine \definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{I=[0,1[}{} das \zusatzklammer {nach oben} {} {} halboffene Einheitsintervall und $S^1$ der \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {I} {S^1 } {} gibt, dass aber \mathkor {} {I} {und} {S^1} {} nicht \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine Ellipsoidoberfläche und die Einheitssphäre $C^\infty$-\definitionsverweis {diffeomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mathl{U_1,U_2 \subseteq \R^k}{} und
\mathl{V_1,V_2 \subseteq \R^n}{} \definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{} mit
\mathl{0 \in V_1,V_2}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {U_1 \times V_1} {U_2 \times V_2 } {} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{,} der eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen \mathkor {} {U_1 \times \{0\}} {und} {U_2 \times \{0\}} {} induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von $\varphi$ auf
\mathl{U_1 \cong U_1 \times \{0\}}{} nach
\mathl{U_2 \cong U_2 \times \{0\}}{} ein Diffeomorphismus ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{,} die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige, dass es \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} \maabbdisp {f,g} {M} {\R } {} gibt mit
\mathl{f,g \neq 0}{,} aber
\mathl{fg=0}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Man gebe eine \definitionsverweis {injektive}{}{} \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R} {S^2 } {,} die \zusatzklammer {als Abbildung nach $\R^3$} {} {} \definitionsverweis {rektifizierbar}{}{} ist und unendliche \definitionsverweis {Länge}{}{} besitzt, und für die \mathkor {} {\operatorname{lim}_{ t \rightarrow \infty } \, \varphi (t) = N} {und} {\operatorname{lim}_{ t \rightarrow - \infty } \, \varphi (t) = S} {} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass das Achsenkreuz keine \definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}