Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 78

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sei

eine differenzierbare Abbildung. Es sei und und es seien

zwei differenzierbare Kurven mit einem offenen Intervall und . Es seien und im Punkt tangential äquivalent. Zeige, dass auch die Verknüpfungen und tangential äquivalent in sind.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Wir betrachten die folgende Menge.

Wir betrachten die Relation

  1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf ist.
  2. Zeige, dass es eine natürliche Ringstruktur auf der Menge der Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation gibt.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zu jeder offenen Teilmenge betrachten wir die Menge der differenzierbaren Funktionen auf . Es sei eine offene Überdeckung.

  1. Zeige, dass zu offen und auch die Einschränkung zu gehört.
  2. Sei . Zeige, dass genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen sind.
  3. Es sei eine Familie von Funktionen gegeben, die die „Verträglichkeitsbedingung“

    für alle erfüllen. Zeige, dass es ein gibt mit für alle .


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum, eine Menge und

eine Abbildung. Zeige, dass das Mengensystem

eine Topologie auf definiert, bezüglich der stetig ist.


Die in der vorstehenden Aufgabe eingeführte Topologie nennt man Bildtopologie.

Aufgabe

Zeige, dass auf dem durch

eine Äquivalenzrelation definiert wird. Die Quotientenmenge

sei mit der Bildtopologie zur Quotientenabbildung versehen. Zeige, dass ein Hausdorff-Raum ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien zwei Punkte und auf der Einheitssphäre gegeben. Zeige, dass es einen Diffeomorphismus der Sphäre in sich gibt, der in überführt.


Aufgabe (8 Punkte)

Der Quotientenraum sei mit der Bildtopologie versehen. Definiere auf eine Mannigfaltigkeitsstruktur durch geeignete Karten. Zeige, dass die Quotientenabbildung

eine differenzierbare Abbildung ist, und dass die Tangentialabbildung in jedem Punkt ein Isomorphismus ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und . Zeige, dass für eine differenzierbare Kurve

mit und im Tangentialraum die Beziehung

gilt, wobei durch definiert sei.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine -Mannigfaltigkeit und . Definiere für -Kurven

mit eine Äquivalenzrelation, die in einer (jeder) Karte die Ableitungen bis zur Ordnung berücksichtigt. Wie sehen einfache Vertreter dieser Äquivalenzrelation aus? Definiere eine Vektorraumstruktur auf der Quotientenmenge und bestimme die Dimension.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und . Wir sagen, dass zwei Kurven

mit den gleichen Kurvenkeim definieren, wenn es ein mit

gibt.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Kurven mit (und mit verschiedenen offenen Intervallen ) definiert.

b) Zeige, dass differenzierbare Kurven, die den gleichen Kurvenkeim repräsentieren, auch den gleichen Tangentialvektor repräsentieren.



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