Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 77

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

differenzierbare Funktionen auf ${}M$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung

   $f\times g\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto (f(x),g(x)),$

   ist differenzierbar.
2. ${}f+g$ ist differenzierbar.
3. ${}f\cdot g$ ist differenzierbar.
4. Wenn ${}f$ keine Nullstelle besitzt, so ist auch ${}f^{-1}$ differenzierbar.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus

$\varphi ^{*}\colon C^{1}(N,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{1}(M,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$

induziert.

Aufgabe

Zeige, dass ein halboffenes Intervall ${}[a,b[$ keine topologische Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Es sei ${}I=[0,1[$ das (nach oben) halboffene Einheitsintervall und ${}S^{1}$ der Einheitskreis. Zeige, dass es eine bijektive stetige Abbildung

$f\colon I\longrightarrow S^{1}$

gibt, dass aber ${}I$ und ${}S^{1}$ nicht homöomorph sind.

Aufgabe

Zeige, dass eine Ellipsoidoberfläche und die Einheitssphäre ${}C^{\infty }$- diffeomorph sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ und ${}V_{1},V_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen mit ${}0\in V_{1},V_{2}$ und es sei

$\varphi \colon U_{1}\times V_{1}\longrightarrow U_{2}\times V_{2}$

ein Diffeomorphismus, der eine Bijektion zwischen ${}U_{1}\times \{0\}$ und ${}U_{2}\times \{0\}$ induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U_{1}\cong U_{1}\times \{0\}$ nach ${}U_{2}\cong U_{2}\times \{0\}$ ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige, dass es differenzierbare Funktionen

$f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

gibt mit ${}f,g\neq 0$, aber ${}fg=0$.

Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe eine injektive stetige Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{2},$

die (als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{3}$) rektifizierbar ist und unendliche Länge besitzt, und für die ${}\operatorname {lim} _{t\rightarrow \infty }\,\varphi (t)=N$ und ${}\operatorname {lim} _{t\rightarrow -\infty }\,\varphi (t)=S$ gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das Achsenkreuz keine topologische Mannigfaltigkeit ist.