Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 77

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

differenzierbare Funktionen auf . Beweise die folgenden Aussagen.
  1. Die Abbildung
    ist differenzierbar.
  2. ist differenzierbar.
  3. ist differenzierbar.
  4. Wenn keine Nullstelle besitzt, so ist auch differenzierbar.


Aufgabe

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus

induziert.


Aufgabe

Zeige, dass ein halboffenes Intervall keine topologische Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe

Es sei das (nach oben) halboffene Einheitsintervall und der Einheitskreis. Zeige, dass es eine bijektive stetige Abbildung

gibt, dass aber und nicht homöomorph sind.


Aufgabe

Zeige, dass eine Ellipsoidoberfläche und die Einheitssphäre -diffeomorph sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und offene Teilmengen mit und es sei

ein Diffeomorphismus, der eine Bijektion zwischen und induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von auf nach ein Diffeomorphismus ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige, dass es differenzierbare Funktionen

gibt mit , aber .


Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe eine injektive stetige Abbildung

die (als Abbildung nach ) rektifizierbar ist und unendliche Länge besitzt, und für die und gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das Achsenkreuz keine topologische Mannigfaltigkeit ist.



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