Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 78/latex

\setcounter{section}{78}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Diciembre.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!} }

\bildlizenz { Diciembre.jpg } {} {Lumentzaspi} {Commons} {PD} {}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Es sei $P \in M$ und
\mathl{Q=\varphi(P)}{} und es seien \maabbdisp {\gamma_1,\gamma_2} {I} {M } {} zwei \definitionsverweis {differenzierbare Kurven}{}{} mit einem offenen Intervall
\mathl{0 \in I}{} und
\mathl{\gamma_1 (0) = \gamma_2(0)=P}{.} Es seien \mathkor {} {\gamma_1} {und} {\gamma_2} {} im Punkt $P$ \definitionsverweis {tangential äquivalent}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{} \mathkor {} {\varphi \circ \gamma_1} {und} {\varphi \circ \gamma_2} {} tangential äquivalent in $Q$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und
\mathl{P \in M}{} ein Punkt. Wir betrachten die folgende Menge.
\mathdisp {T= { \left\{ (U,f) \mid U \subseteq M \text{ offen} , \, P \in U , \, f \in C^1(U,\R) \right\} }} { . }
Wir betrachten die \definitionsverweis {Relation}{}{}
\mathdisp {(U,f) \sim (V,g) : \text{ es gibt eine offene Menge } W \text{ mit } P \in W \subseteq U \cap V \text{ mit } f {{|}} _W= g {{|}}_W} { . }
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $T$ ist. } {Zeige, dass es eine natürliche \definitionsverweis {Ringstruktur}{}{} auf der Menge der \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} zu dieser Äquivalenzrelation gibt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.} Zu jeder offenen Teilmenge
\mathl{U \subseteq M}{} betrachten wir die Menge
\mathl{C^1(U,\R)}{} der \definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{} auf $U$. Es sei
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass zu
\mathl{V \subseteq U}{} offen und
\mathl{f \in C^1(U,\R)}{} auch die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} $f {{|}}_V$ zu
\mathl{C^1(V,\R)}{} gehört. }{Es sei
\mathl{f \in C^1(M,\R)}{.} Zeige, dass
\mathl{f=0}{} genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen
\mathl{f {{|}}_{U_i} =0}{} sind. }{Es sei eine Familie
\mathl{f_i \in C^1(U_i,\R)}{} von Funktionen gegeben, die die \anfuehrung{Verträglichkeitsbedingung}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_i {{|}}_{U_i \cap U_j} }
{ =} { f_j {{|}}_{U_i \cap U_j} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $i,j$ erfüllen. Zeige, dass es ein
\mathl{f \in C^1(M,\R)}{} gibt mit
\mathl{f {{|}}_{U_i} =f_i}{} für alle $i$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} $Y$ eine Menge und \maabbdisp {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Mengensystem}{}{}
\mathdisp {{\mathcal T } = { \left\{ V \subseteq Y \mid \varphi^{-1}(V) \text{ ist offen in } X \right\} }} { }
eine \definitionsverweis {Topologie}{}{} auf $Y$ definiert, bezüglich der $\varphi$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

Die in der vorstehenden Aufgabe eingeführte Topologie nennt man Bildtopologie.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass auf dem $\R^n$ durch
\mathdisp {P \sim Q, \text{ falls } P-Q \in \Z^n} { }
eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} definiert wird. Die \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y }
{ =} {\R^n /\!\!\sim }
{ =} {\R^n/\Z^n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sei mit der \definitionsverweis {Bildtopologie}{}{} zur \definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{} \maabb {\varphi} {\R^n} {Y } {} versehen. Zeige, dass $Y$ ein \definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{6}
{

Es seien zwei Punkte \mathkor {} {P} {und} {Q} {} auf der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} gegeben. Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} der Sphäre in sich gibt, der $P$ in $Q$ überführt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Der \definitionsverweis {Quotientenraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ \R^n/\Z^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei mit der \definitionsverweis {Bildtopologie}{}{} versehen. Definiere auf $Y$ eine Mannigfaltigkeitsstruktur durch geeignete Karten. Zeige, dass die \definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {Y } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} ist, und dass die \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} in jedem Punkt ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und
\mathl{P \in M}{.} Zeige, dass für eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbdisp {\gamma} {I} {M } {} mit
\mathl{\gamma(0)= P}{} und
\mathl{a \in \R}{} im \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
\mathl{T_PM}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a [\gamma] }
{ =} { [ \lambda] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, wobei $\lambda$ durch
\mathl{\lambda(t):= \gamma(at)}{} definiert sei.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $M$ eine $C^k$-\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Definiere für $C^k$-\definitionsverweis {Kurven}{}{} \maabbdisp {\gamma_1,\gamma_2} {I} {M } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma_1(0) }
{ = }{ \gamma_2(0) }
{ = }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Äquivalenzrelation, die in einer \zusatzklammer {jeder} {} {} \definitionsverweis {Karte}{}{} die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} bis zur Ordnung $k$ berücksichtigt. Wie sehen einfache Vertreter dieser Äquivalenzrelation aus? Definiere eine Vektorraumstruktur auf der \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{} und bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und
\mathl{P \in M}{.} Wir sagen, dass zwei \definitionsverweis {Kurven}{}{} \maabbdisp {\gamma_1, \gamma_2} {I} {M } {} mit
\mathl{\gamma_1(0)= \gamma_2(0)= P}{} den gleichen \stichwort {Kurvenkeim} {} definieren, wenn es ein
\mathl{\epsilon >0}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma_1\!\mid_{[-\epsilon, \epsilon]} }
{ =} { \gamma_2\!\mid_{[-\epsilon, \epsilon]} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

a) Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf der Menge aller Kurven \maabb {\gamma} {I} {M } {} mit $\gamma(0)= P$ \zusatzklammer {und mit verschiedenen offenen Intervallen
\mathl{0 \in I}{}} {} {} definiert.

b) Zeige, dass \definitionsverweis {differenzierbare Kurven}{}{,} die den gleichen Kurvenkeim repräsentieren, auch den gleichen Tangentialvektor repräsentieren.

}
{} {}