Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 79

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

eine Karte (also und offen). Zeige, dass ein Diffeomorphismus ist.


Aufgabe

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine Abbildung. Es sei eine offene Überdeckung von . Zeige, dass genau dann differenzierbar ist, wenn alle Einschränkungen differenzierbar sind.


Aufgabe

Zeige, dass zu die Einbettung des Unterraumes in den , die durch gegeben ist, beliebig oft differenzierbar ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer abgeschlossenen Teilmenge , die keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ist.


Aufgabe

Es seien und zwei disjunkte abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten des . Zeige, dass deren Vereinigung ebenfalls eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, und dass diese Aussage ohne die Voraussetzung der Disjunktheit nicht gilt.


Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass der Graph eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ist.


Aufgabe

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

das Tangentialbündel. Zeige, dass diese Projektionsabbildung stetig ist.


Aufgabe

Seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die zugehörige Tangentialabbildung

stetig ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (8 (3+3+2) Punkte)

Seien .

a) Zeige, dass die Menge

eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ist.

b) Zeige, dass die Abbildung

differenzierbar und in jedem Punkt regulär ist.

c) Beschreibe die Fasern von .


Aufgabe (10 (2+3+5) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Zeige, dass diese Abbildung differenzierbar und injektiv ist.

b) Zeige, dass nicht in jedem Punkt regulär ist.

c) Zeige, dass das Bild von abgeschlossen in ist, aber keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei offen, eine differenzierbare Abbildung und die Faser über . Es sei vorausgesetzt, dass das totale Differential in jedem Punkt dieser Faser surjektiv sei. Zeige, dass für der Tangentialraum im Sinne von Definition 51.5 mit dem Tangentialraum der differenzierbaren Mannigfaltigkeit im Punkt übereinstimmt.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

das Tangentialbündel. Zeige, dass selbst in natürlicher Weise eine topologische Mannigfaltigkeit ist.



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