Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 81/latex
\setcounter{section}{81}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} zwischen zwei \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {M} {und} {N} {} derart, dass die zugehörige \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T(\varphi)} {TM} {TN } {} nicht surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {injektiven}{}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} zwischen zwei \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {M} {und} {N} {} derart, dass die zugehörige \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T(\varphi)} {TM} {TN } {} nicht injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z,t) \in \R^4 \mid x+x^2y+z^2+t^3 = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
des $\R^4$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Drücke das
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\3\\ 2 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 4 \\-1\\ 5 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.
}
{} {}
Die in der folgenden Aufgabe konstruierte Basis des Dualraums heißt \stichwort {Dualbasis} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} mit
\definitionsverweis {Basis}{}{}
$\mathfrak{ v }= v_1 , \ldots , v_n$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { V }^{ * }
}
{ \defeq} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
zu $V$. Zeige, dass auf ${ V }^{ * }$ die
\definitionsverweis {Koordinatenfunktionen}{}{}
$v^*_1 , \ldots , v^*_n$, die durch
\mathdisp {v_j^* (v_k) = \begin{cases} 1, \text{ falls } j=k , \\ 0 \text{ sonst} , \end{cases}} { }
definiert sind, eine Basis von ${ V }^{ * }$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.} Es seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_k \in V^*}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {V \times \cdots \times V } {K
} {(v_1 , \ldots , v_k)} { \det (f_i (v_j))_{1 \leq i ,j \leq k}
} {,}
\definitionsverweis {multilinear}{}{}
und
\definitionsverweis {alternierend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^3
} {}
die durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 7 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}} { }
gegebene
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Bestimme die Matrix zu
\mathl{\bigwedge^2 \varphi}{} bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Drücke das
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\5\\ -4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 7 \\-2\\ 4 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Drücke das
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathdisp {-2 \begin{pmatrix} 3 \\6\\ -2\\5 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 2 \\7\\ 4\\0 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\3\\ -4\\-2 \end{pmatrix} +4 \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3\\4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ -2\\3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 7 \\6\\ 5\\-4 \end{pmatrix}} { }
in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^3 \R^4}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten das zweite
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\bigwedge^2 \R^n}{} mit der Standardbasis
\mathbed {e_i \wedge e_j} {}
{i < j} {}
{} {} {} {,}
und der zugehörigen
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
\mathl{\varphi_{ij} =e_{ij}^*}{.} Zeige, dass die Funktion
\maabbeledisp {\varphi} {\bigwedge^2 \R^n} { \R
} {x} { \varphi(x) = \sqrt{ \sum_{i <j} (\varphi_{ij}(x))^2 }
} {,}
die Eigenschaft besitzt, dass
\mathl{\varphi(v \wedge w)}{} mit dem
\definitionsverweis {Flächeninhalt}{}{}
des von
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
im $\R^n$
\definitionsverweis {aufgespannten Parallelogramms}{}{}
übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
die durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & -2 & 5 \\ 6 & 8 & -3 \\1 & 4 & -1 \end{pmatrix}} { }
gegebene
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Bestimme die Matrix zu
\mathl{\bigwedge^2 \varphi}{} bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mathl{u_1 , \ldots , u_n \in V}{.} Zeige, dass es zu jedem
\mathl{k\in \N}{} eine eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} {\bigwedge^k V} { \bigwedge^{k+n} V
} {}
mit
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_k \mapsto v_1 \wedge \ldots \wedge v_k \wedge u_1 \wedge \ldots \wedge u_n}{} gibt.
}
{} {}
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