Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 81

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer surjektiven differenzierbaren Abbildung

φ : M ⟶ N

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

T (φ) : T M ⟶ T N

nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer injektiven differenzierbaren Abbildung

φ : M ⟶ N

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

T (φ) : T M ⟶ T N

nicht injektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass

M = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} ∣ x + x^{2} y + z^{2} + t^{3} = 0}

eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $ℝ^{4}$ ist.

Aufgabe *

Drücke das Dachprodukt $(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) \land (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix})$ in der Standardbasis von $\overset{2}{⋀} ℝ^{3}$ aus.

Die in der folgenden Aufgabe konstruierte Basis des Dualraums heißt Dualbasis.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum mit Basis $𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}$ . Es sei

V^{*} := {Hom}_{K} (V, K)

der Dualraum zu $V$ . Zeige, dass auf $V^{*}$ die Koordinatenfunktionen $v_{1}^{*}, \dots, v_{n}^{*}$ , die durch

v_{j}^{*} (v_{k}) = {\begin{matrix} 1, falls j = k, \\ 0 sonst, \end{matrix}

definiert sind, eine Basis von $V^{*}$ bilden.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum. Es seien $f_{1}, \dots, f_{k} \in V^{*}$ . Zeige, dass die Abbildung

V \times \dots \times V ⟶ K, (v_{1}, \dots, v_{k}) ⟼ det (f_{i} (v_{j}))_{1 \leq i, j \leq k},

multilinear und alternierend ist.

Aufgabe

Es sei

φ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{3}

die durch die Matrix

(\begin{matrix} 4 & - 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & 3 \end{matrix})

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu $\overset{2}{⋀} φ$ bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt $(\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ - 4 \end{matrix}) \land (\begin{matrix} 7 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix})$ in der Standardbasis von $\overset{2}{⋀} ℝ^{3}$ aus.

Aufgabe (4 Punkte)

Drücke das Dachprodukt

- 2 (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ - 2 \\ 5 \end{matrix}) \land (\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) \land (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix}) + 4 (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) \land (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) \land (\begin{matrix} 7 \\ 6 \\ 5 \\ - 4 \end{matrix})

in der Standardbasis von $\overset{3}{⋀} ℝ^{4}$ aus.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten das zweite Dachprodukt $\overset{2}{⋀} ℝ^{n}$ mit der Standardbasis $e_{i} \land e_{j}$ , $i < j$ , und der zugehörigen Dualbasis $φ_{i j} = e_{i j}^{*}$ . Zeige, dass die Funktion

φ : \overset{2}{⋀} ℝ^{n} ⟶ ℝ, x ⟼ φ (x) = \sqrt{\sum_{i < j} (φ_{i j} (x))^{2}},

die Eigenschaft besitzt, dass $φ (v \land w)$ mit dem Flächeninhalt des von $v$ und $w$ im $ℝ^{n}$ aufgespannten Parallelogramms übereinstimmt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

φ : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3}

die durch die Matrix

(\begin{matrix} 4 & - 2 & 5 \\ 6 & 8 & - 3 \\ 1 & 4 & - 1 \end{matrix})

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu $\overset{2}{⋀} φ$ bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Es seien $u_{1}, \dots, u_{n} \in V$ . Zeige, dass es zu jedem $k \in ℕ$ eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

\overset{k}{⋀} V ⟶ \overset{k + n}{⋀} V

mit $v_{1} \land \dots \land v_{k} \mapsto v_{1} \land \dots \land v_{k} \land u_{1} \land \dots \land u_{n}$ gibt.

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