Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 81

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer surjektiven differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

$T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer injektiven differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

$T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

nicht injektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass

${}M={\left\{(x,y,z,t)\in \mathbb {R} ^{4}\mid x+x^{2}y+z^{2}+t^{3}=0\right\}}\,$

eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{4}$ ist.

Aufgabe *

Drücke das Dachprodukt ${}{\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}4\\-1\\5\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.

Die in der folgenden Aufgabe konstruierte Basis des Dualraums heißt Dualbasis.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum mit Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei

${}{V}^{*}:=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,$

der Dualraum zu ${}V$. Zeige, dass auf ${}{V}^{*}$ die Koordinatenfunktionen ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$, die durch

$v_{j}^{*}(v_{k})={\begin{cases}1,{\text{ falls }}j=k,\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}$

definiert sind, eine Basis von ${}{V}^{*}$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in V^{*}$. Zeige, dass die Abbildung

$V\times \cdots \times V\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto \det(f_{i}(v_{j}))_{1\leq i,j\leq k},$

multilinear und alternierend ist.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}4&-1\\0&7\\2&3\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu ${}\bigwedge ^{2}\varphi$ bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt ${}{\begin{pmatrix}-2\\5\\-4\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}7\\-2\\4\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.

Aufgabe (4 Punkte)

Drücke das Dachprodukt

$-2{\begin{pmatrix}3\\6\\-2\\5\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}2\\7\\4\\0\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}0\\3\\-4\\-2\end{pmatrix}}+4{\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\\3\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}7\\6\\5\\-4\end{pmatrix}}$

in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{3}\mathbb {R} ^{4}$ aus.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten das zweite Dachprodukt ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{n}$ mit der Standardbasis ${}e_{i}\wedge e_{j}$, ${}i<j$, und der zugehörigen Dualbasis ${}\varphi _{ij}=e_{ij}^{*}$. Zeige, dass die Funktion

$\varphi \colon \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \varphi (x)={\sqrt {\sum _{i<j}(\varphi _{ij}(x))^{2}}},$

die Eigenschaft besitzt, dass ${}\varphi (v\wedge w)$ mit dem Flächeninhalt des von ${}v$ und ${}w$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$ aufgespannten Parallelogramms übereinstimmt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}4&-2&5\\6&8&-3\\1&4&-1\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu ${}\bigwedge ^{2}\varphi$ bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es seien ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$. Zeige, dass es zu jedem ${}k\in \mathbb {N}$ eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\bigwedge ^{k}V\longrightarrow \bigwedge ^{k+n}V$

mit ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\mapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\wedge u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{n}$ gibt.