Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 81

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer surjektiven differenzierbaren Abbildung

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

nicht surjektiv ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer injektiven differenzierbaren Abbildung

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

nicht injektiv ist.


Aufgabe

Zeige, dass

eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ist.


Aufgabe *

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.


Die in der folgenden Aufgabe konstruierte Basis des Dualraums heißt Dualbasis.

Aufgabe

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Basis . Es sei

der Dualraum zu . Zeige, dass auf die Koordinatenfunktionen , die durch

definiert sind, eine Basis von bilden.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es seien . Zeige, dass die Abbildung

multilinear und alternierend ist.


Aufgabe

Es sei

die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.


Aufgabe (4 Punkte)

Drücke das Dachprodukt

in der Standardbasis von aus.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten das zweite Dachprodukt mit der Standardbasis , , und der zugehörigen Dualbasis . Zeige, dass die Funktion

die Eigenschaft besitzt, dass mit dem Flächeninhalt des von und im aufgespannten Parallelogramms übereinstimmt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es seien . Zeige, dass es zu jedem eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

mit gibt.



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