Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 82

Aufwärmaufgaben

Datei:DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen.jpg

Aufgabe

Schaue in einen Spiegel. Vertauscht die Spiegelung links und rechts, oben und unten, vorne und hinten? Durch welche lineare Abbildung wird eine Spiegelung beschrieben?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass auf der Menge der (geordneten) Basen die Orientierungsgleichheit eine Äquivalenzrelation ist, die bei ${}V\neq 0$ aus genau zwei Äquivalenzklassen besteht.

Aufgabe

Es sei ${}V\neq 0$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Zeige, dass wenn man einen Vektor ${}v_{i}$ durch sein Negatives ${}-v_{i}$ ersetzt, dass dann die neue Basis die entgegengesetzte Orientierung repräsentiert.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann orientierungstreu ist, wenn es eine die Orientierung auf ${}V$ repräsentierende Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ gibt, deren Bildvektoren ${}\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$ die Orientierung auf ${}W$ repräsentieren.

Aufgabe *

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{2}$,

${\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, der nur aus endlich vielen Elementen bestehe. Zeige, dass ${}X$ kompakt ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es seien ${}Y_{1},\ldots ,Y_{n}\subseteq X$ kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung ${}Y=\bigcup _{i=1}^{n}Y_{i}$ kompakt ist.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein kompakter Raum und es sei ${}Y\subseteq X$ eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass ${}Y$ ebenfalls kompakt ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ nicht überdeckungskompakt ist.

Aufgabe

Wir betrachten die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ und versehen sie mit der diskreten Metrik. Zeige, dass ${}\mathbb {N}$ abgeschlossen und beschränkt, aber nicht überdeckungskompakt ist.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein kompakter metrischer Raum. Zeige, dass ${}X$ vollständig ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Basis

$v_{1}={\begin{pmatrix}9\\8\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}4\\7\\-3\end{pmatrix}},\,v_{3}={\begin{pmatrix}2\\5\\-2\end{pmatrix}}$

von ${}\mathbb {R} ^{3}$ und die dadurch induzierte Basis

${\mathfrak {v}}=v_{1}\wedge v_{2},\,v_{1}\wedge v_{3},\,v_{2}\wedge v_{3}$

von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$. Bestimme die Übergangsmatrizen (in beide Richtungen) zwischen der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ und der Standardbasis ${}e_{1}\wedge e_{2},\,e_{1}\wedge e_{3},\,e_{2}\wedge e_{3}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{3}$,

${\begin{pmatrix}2\\4\\-5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\6\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\-3\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\6\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\4\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\0\\13\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum. Zeige, dass es auf ${}V$, aufgefasst als reellen Vektorraum, eine natürliche Orientierung gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die ${}1$-Sphäre ${}S^{1}$ eine orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Hausdorffraum und es sei ${}Y\subseteq X$ eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei ${}Y$ kompakt. Zeige, dass ${}Y$ abgeschlossen in ${}X$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Es sei ${}X$ kompakt. Zeige, dass das Bild ${}\varphi (X)\subseteq Y$ ebenfalls kompakt ist.