Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 80

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt ${}M\times N$ von zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Es seien ${}M_{1}\subseteq N_{1}$ und ${}M_{2}\subseteq N_{2}$ abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten. Zeige, dass ihr Produkt ${}M_{1}\times M_{2}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}N_{1}\times N_{2}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\varphi \colon M\longrightarrow M\times M,\,x\longmapsto (x,x),$

die Diagonalabbildung in das Produkt ${}M\times M$. Zeige, dass die Diagonale ${}\varphi (M)$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Betrachte die Kreislinie ${}S^{1}$. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf ${}S^{1}$, also ein neutrales Element ${}P\in S^{1}$, eine differenzierbare Abbildung

$\alpha \colon S^{1}\longrightarrow S^{1},\,x\longmapsto \alpha (x),$

und eine differenzierbare Abbildung

$T=S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$

derart, dass ${}S^{1}$ mit diesen Daten zu einer kommutativen Gruppe wird.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}M$ eine Menge mit einer Verknüpfung

$+\colon M\times M\longrightarrow M$

und einer Abbildung

$\cdot \colon K\times M\longrightarrow M.$

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow M$

eine surjektive Abbildung mit

$\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)\,\,{\text{ und }}\,\,\varphi (sx)=s\varphi (x)$

für alle ${}x,y\in V$ und ${}s\in K$. Zeige, dass ${}M$ ein ${}K$-Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige die Gleichheit ${}V=\bigwedge ^{1}V$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}m$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}n>m$. Zeige ${}\bigwedge ^{n}V=0$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es eine Homöomorphie des Tangentialbündels ${}T_{S_{1}}$ der ${}1$- Sphäre ${}S^{1}$ mit dem Produkt ${}S^{1}\times \mathbb {R}$ gibt.

In der folgenden Aufgabe wird der Begriff eines ${}R$-Moduls verwendet (das ist eine direkte Verallgemeinerung des Vektorraumsbegriffes).

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M=(M,+,0)$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt ${}M$ einen ${}R$-Modul, wenn eine Operation

$R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):

1. ${}r(su)=(rs)u$,
2. ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$,
3. ${}(r+s)u=(ru)+(su)$,
4. ${}1u=u$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, sei ${}R=C^{1}(M,\mathbb {R} )$ der Ring der differenzierbaren Funktionen auf ${}M$ und sei ${}F$ die Menge aller Vektorfelder auf ${}M$.

a) Definiere eine Addition auf ${}F$ derart, dass ${}F$ zu einer kommutativen Gruppe wird.

b) Definiere eine Skalarmultiplikation

$R\times F\longrightarrow F,\,(f,s)\longmapsto fs,$

derart, dass ${}F$ zu einem ${}R$- Modul wird.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}0<r<R$ und sei

$T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}.$

Zeige, dass die Abbildung

$S^{1}\times S^{1}\longrightarrow T,\,(\varphi ,\psi )\longmapsto ((R+r\cos \psi )\cos \varphi ,(R+r\cos \psi )\sin \varphi ,r\sin \psi )$

eine Bijektion ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}T$ ein Torus und seien ${}P,Q\in T$ zwei Punkte. Zeige, dass es eine gemeinsame Kartenumgebung ${}P,Q\in U\subseteq T$ derart gibt, dass die Kartenabbildung

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine Homöomorphie mit ${}V={]0,1[}\times {]0,1[}$ ergibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Drücke das Dachprodukt

$4{\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}}+5{\begin{pmatrix}-3\\2\\3\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}-2{\begin{pmatrix}7\\-5\\3\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}}$

im ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ als Linearkombination der Dachprodukte ${}e_{1}\wedge e_{2}$, ${}e_{1}\wedge e_{3}$ und ${}e_{2}\wedge e_{3}$ aus.