Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 80

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe

Es seien und abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten. Zeige, dass ihr Produkt eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ist.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

die Diagonalabbildung in das Produkt . Zeige, dass die Diagonale eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist.


Aufgabe

Betrachte die Kreislinie . Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf , also ein neutrales Element , eine differenzierbare Abbildung

und eine differenzierbare Abbildung

derart, dass mit diesen Daten zu einer kommutativen Gruppe wird.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und eine Menge mit einer Verknüpfung

und einer Abbildung

Es sei

eine surjektive Abbildung mit

für alle und . Zeige, dass ein -Vektorraum ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige die Gleichheit .


Aufgabe

Sei ein Körper und ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei . Zeige .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es eine Homöomorphie des Tangentialbündels der -Sphäre mit dem Produkt gibt.


In der folgenden Aufgabe wird der Begriff eines -Moduls verwendet (das ist eine direkte Verallgemeinerung des Vektorraumsbegriffes).


Sei ein kommutativer Ring und eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt einen -Modul, wenn eine Operation

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien und beliebig):

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, sei der Ring der differenzierbaren Funktionen auf und sei die Menge aller Vektorfelder auf .

a) Definiere eine Addition auf derart, dass zu einer kommutativen Gruppe wird.

b) Definiere eine Skalarmultiplikation

derart, dass zu einem -Modul wird.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei und sei

Zeige, dass die Abbildung

eine Bijektion ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein Torus und seien zwei Punkte. Zeige, dass es eine gemeinsame Kartenumgebung derart gibt, dass die Kartenabbildung

eine Homöomorphie mit ergibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Drücke das Dachprodukt

im als Linearkombination der Dachprodukte , und aus.



<< | Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)