Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 80

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt $M \times N$ von zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Es seien $M_{1} \subseteq N_{1}$ und $M_{2} \subseteq N_{2}$ abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten. Zeige, dass ihr Produkt $M_{1} \times M_{2}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $N_{1} \times N_{2}$ ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

φ : M ⟶ M \times M, x ⟼ (x, x),

die Diagonalabbildung in das Produkt $M \times M$ . Zeige, dass die Diagonale $φ (M)$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Betrachte die Kreislinie $S^{1}$ . Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf $S^{1}$ , also ein neutrales Element $P \in S^{1}$ , eine differenzierbare Abbildung

α : S^{1} ⟶ S^{1}, x ⟼ α (x),

und eine differenzierbare Abbildung

T = S^{1} \times S^{1} ⟶ S^{1}, (x, y) ⟼ φ (x, y),

derart, dass $S^{1}$ mit diesen Daten zu einer kommutativen Gruppe wird.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und $M$ eine Menge mit einer Verknüpfung

+ : M \times M ⟶ M

und einer Abbildung

\cdot : K \times M ⟶ M .

Es sei

φ : V ⟶ M

eine surjektive Abbildung mit

φ (x + y) = φ (x) + φ (y) und φ (s x) = s φ (x)

für alle $x, y \in V$ und $s \in K$ . Zeige, dass $M$ ein $K$ -Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Zeige die Gleichheit $V = \overset{1}{⋀} V$ .

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $m$ -dimensionaler $K$ -Vektorraum. Es sei $n > m$ . Zeige $\overset{n}{⋀} V = 0$ .

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es eine Homöomorphie des Tangentialbündels $T_{S^{1}}$ der $1$ -Sphäre $S^{1}$ mit dem Produkt $S^{1} \times ℝ$ gibt.

In der folgenden Aufgabe wird der Begriff eines $R$ -Moduls verwendet (das ist eine direkte Verallgemeinerung des Vektorraumsbegriffes).

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M = (M, +, 0)$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt $M$ einen $R$ -Modul, wenn eine Operation

R \times M ⟶ M, (r, v) ⟼ r v = r \cdot v,

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r, s \in R$ und $u, v \in M$ beliebig):

$r (s u) = (r s) u$ ,
$r (u + v) = (r u) + (r v)$ ,
$(r + s) u = (r u) + (s u)$ ,
$1 u = u$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, sei $R = C^{1} (M, ℝ)$ der Ring der differenzierbaren Funktionen auf $M$ und sei $F$ die Menge aller Vektorfelder auf $M$ .

a) Definiere eine Addition auf $F$ derart, dass $F$ zu einer kommutativen Gruppe wird.

b) Definiere eine Skalarmultiplikation

R \times F ⟶ F, (f, s) ⟼ f s,

derart, dass $F$ zu einem $R$ -Modul wird.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $0 < r < R$ und sei

T = {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ {(\sqrt{x^{2} + y^{2}} - R)}^{2} + z^{2} = r^{2}} .

Zeige, dass die Abbildung

S^{1} \times S^{1} ⟶ T, (φ, ψ) ⟼ ((R + r \cos ψ) \cos φ, (R + r \cos ψ) \sin φ, r \sin ψ)

eine Bijektion ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $T$ ein Torus und seien $P, Q \in T$ zwei Punkte. Zeige, dass es eine gemeinsame Kartenumgebung $P, Q \in U \subseteq T$ derart gibt, dass die Kartenabbildung

α : U ⟶ V

eine Homöomorphie mit $V =] 0, 1 [\times] 0, 1 [$ ergibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Drücke das Dachprodukt

4 (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) \land (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) + 5 (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \land (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) - 2 (\begin{matrix} 7 \\ - 5 \\ 3 \end{matrix}) \land (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix})

im $\overset{2}{⋀} ℝ^{3}$ als Linearkombination der Dachprodukte $e_{1} \land e_{2}$ , $e_{1} \land e_{3}$ und $e_{2} \land e_{3}$ aus.

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