Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 83/latex

\setcounter{section}{83}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} $T\varphi$ zu \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} {(x^2y-3xz^3+y^2,x \sin y -e^{yz}) } {} unter Verwendung der Identifizierungen \mathkor {} {T\R^3 =\R^3 \times \R^3} {und} {T\R^2 =\R^2 \times \R^2} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M_1} {und} {M_2} {} \definitionsverweis {orientierte Mannigfaltigkeiten}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M_1 \times M_2}{} eine orientierte Mannigfaltigkeit ist \zusatzklammer {wobei die Orientierung von der Ordnung auf \mathlk{\{1,2\}}{} abhängt} {} {.}

}
{} {}

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {orientierte Mannigfaltigkeiten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Diese heißt $\varphi$ \definitionswort {orientierungstreu}{,} wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T\varphi} { T_PM } { T_{\varphi(P)} N } {} bijektiv und \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {antipodale Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {S^1} {S^1 } {P} {-P } {,} \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {orientierte Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die Vertauschungsabbildung \maabbeledisp {\varphi} {M \times M} {M \times M } {(P,Q)} {(Q,P) } {,} bezüglich der jeweiligen \definitionsverweis {Produktorientierungen}{}{} nicht \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit dem \definitionsverweis {Kotangentialbündel}{}{}
\mathl{T^*M}{.} Zeige, dass man auf
\mathl{\bigwedge^k T^*M}{} für jedes $k$ eine \definitionsverweis {Topologie}{}{} erklären kann, bei der für jede Karte \maabb {\alpha} {U} {V } {} die Abbildung \maabbdisp {} {\bigwedge^k T^*U} { \bigwedge^k T^*V \cong V \times \bigwedge^k \R^{n*} } {} eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} ist.

}
{} {} Damit kann man von stetigen und auch von messbaren Differentialformen sprechen.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $C^2$-\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit dem \definitionsverweis {Kotangentialbündel}{}{}
\mathl{T^*M}{.} Zeige, dass
\mathl{\bigwedge^k T^*M}{} für jedes $k$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und
\mathl{{ \mathcal E }^{ k } ( M )}{} die Menge der $k$-\definitionsverweis {Formen}{}{} auf $M$. Zeige, dass ${ \mathcal E }^{ k } ( M )$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ C^0(M,\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ C^1(M,\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ T_PM }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Tangentialvektor}{}{,} der durch einen differenzierbaren Weg \maabbdisp {\gamma} {{]{-\delta},\delta [}} {M } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(0) }
{ = }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} repräsentiert werde. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(df)(P,v) }
{ =} { (f \circ \gamma)'(0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{i: M\subseteq \R^n}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass für eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ i^* (df) }
{ =} { d(f \circ i ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2 \setminus \{(0,0)\} } {(u,v)} {(u^2,v^3-u) } {,} und die $2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { { \frac{ 1 }{ x^2+y^2 } } dx \wedge dy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {zurückgezogene Differentialform}{}{}
\mathl{\varphi^* \omega}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$ und sei das \definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V^n }
{ = }{ V \times \cdots \times V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {Produkttopologie}{}{} versehen. Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {I} {V^n } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(t) }
{ =} { (\varphi_1(t), \varphi_2(t) , \ldots , \varphi_n(t)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ ist. Zeige, dass sämtliche Basen
\mathbed {\varphi(t)} {}
{t \in I} {}
{} {} {} {,} die gleiche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} auf $V$ repräsentieren.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit dem \definitionsverweis {Kotangentialbündel}{}{}
\mathl{T^*M}{.} Es sei $\omega$ eine $k$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{,} also eine Abbildung \maabbdisp {\omega} {M} {\bigwedge^k T^*M } {} mit
\mathl{\omega(P) \in \bigwedge^k T^*_P M}{} für alle
\mathl{P \in M}{,} wobei dieses Dachprodukt mit der natürlichen Topologie \zusatzklammer {siehe Aufgabe 83.5} {} {} versehen sei. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$\omega$ ist \definitionsverweis { stetig}{}{.} }{Für jede \definitionsverweis {Karte}{}{} \maabb {\alpha} {U} {V } {} mit
\mathl{V \subseteq \R^n}{} und mit der lokalen Darstellung
\mathl{\alpha_* \omega = \sum_{J,\, { \# \left( J \right) } =k} f_J dx_J}{} sind die Funktionen $f_J$ stetig. }{Es gibt eine offene Überdeckung
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} mit \definitionsverweis {Kartengebieten}{}{} $U_i$ derart, dass in den lokalen Darstellungen
\mathl{\alpha_{i*} \omega = \sum_{J,\, { \# \left( J \right) } =k} f_{i J} dx_J}{} die Funktionen $f_{i J}$ stetig sind. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} zwischen zwei \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {.} Es seien \mathkor {} {\omega \in { \mathcal E }^{ k } ( M )} {und} {\tau \in { \mathcal E }^{ \ell } ( M )} {} \definitionsverweis {Differentialformen}{}{} auf $M$. Zeige die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^* ( \omega \wedge \tau) }
{ =} {\varphi^* \omega \wedge \varphi^* \tau }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3 \setminus \{(0,0,0)\}} {N = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid z \neq 0 \right\} } } {(u,v,w)} {(uvw,u^2-vw^5,u^2+v^2+w^2) } {,} und die $2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {\omega = z^2dx \wedge dy+{ \frac{ xy }{ z } }dx \wedge dz+(xe^y-z)dy \wedge dz} { }
auf $N$. Bestimme die \definitionsverweis {zurückgezogene Differentialform}{}{}
\mathl{\varphi^* \omega}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Begründe die einzelnen Gleichungen in der Gleichungskette im Beweis zu Lemma 83.8.

Gehe dabei folgendermaßen vor. \aufzaehlungvier{Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile

[[/Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).

}{Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort

 {{:Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

ein. }{Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein. }{Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite(die Sie von der Kursseite auf Wikiversity aus erreichen können) einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort

[[Ihr Benutzername/Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

hinschreiben.

}

}
{} {}