Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 83

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne die Tangentialabbildung zu

unter Verwendung der Identifizierungen

und .


Aufgabe

Es seien und orientierte Mannigfaltigkeiten. Zeige, dass das Produkt eine orientierte Mannigfaltigkeit ist (wobei die Orientierung von der Ordnung auf abhängt).


Es seien und orientierte Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Diese heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt die Tangentialabbildung

bijektiv und orientierungstreu ist.


Aufgabe

Zeige, dass die antipodale Abbildung

orientierungstreu ist.


Aufgabe

Es sei eine orientierte Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung

bezüglich der jeweiligen Produktorientierungen nicht orientierungstreu sein muss.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel . Zeige, dass man auf für jedes eine Topologie erklären kann, bei der für jede Karte die Abbildung

eine Homöomorphie ist.

Damit kann man von stetigen und auch von messbaren Differentialformen sprechen.

Aufgabe

Es sei eine -differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel . Zeige, dass für jedes eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und die Menge der -Formen auf . Zeige, dass ein -Modul zu ist.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ein Punkt und eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei ein Tangentialvektor, der durch einen differenzierbaren Weg

mit repräsentiert werde. Zeige die Gleichheit


Aufgabe

Es sei eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit. Zeige, dass für eine differenzierbare Funktion

die Beziehung
gilt.


Aufgabe

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung

und die -Differentialform

Bestimme die zurückgezogene Differentialform .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension und sei das Produkt mit der Produkttopologie versehen. Es sei ein reelles Intervall und

eine stetige Abbildung

mit der Eigenschaft, dass
für jedes eine

Basis von ist. Zeige, dass sämtliche Basen , , die gleiche Orientierung auf repräsentieren.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel . Es sei eine -Differentialform, also eine Abbildung

mit für alle , wobei dieses Dachprodukt mit der natürlichen Topologie

(siehe Aufgabe 83.5) versehen sei. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist stetig.
  2. Für jede Karte mit und mit der lokalen Darstellung sind die Funktionen stetig.
  3. Es gibt eine offene Überdeckung mit Kartengebieten derart, dass in den lokalen Darstellungen die Funktionen stetig sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und . Es seien und Differentialformen auf . Zeige die Gleichung


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung

und die -Differentialform

auf . Bestimme die zurückgezogene Differentialform .


Aufgabe (4 Punkte)

Begründe die einzelnen Gleichungen in der Gleichungskette im Beweis zu Lemma 83.8.

Gehe dabei folgendermaßen vor.

  1. Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile
    [[/Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]
    schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
  2. Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort
     {{:Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

    ein.

  3. Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein.
  4. Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort
    [[Ihr Benutzername/Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]
    hinschreiben.



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