Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 84

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine Überdeckung aus offenen Mengen, wobei ${}I$ abzählbar sei. Zeige folgende Aussagen.

a) Eine Teilmenge ${}T\subseteq X$ ist genau dann eine Borelmenge, wenn ${}T\cap U_{i}$ eine Borelmenge ist für jedes ${}i\in I$.

b) Ein ${}\sigma$- endliches Maß ${}\mu$ ist durch die Einschränkungen ${}\mu _{i}=\mu {|}_{U_{i}}$ eindeutig bestimmt.

c) Es sei für jedes ${}i\in I$ ein ${}\sigma$-endliches Maß ${}\mu _{i}$ auf ${}U_{i}$ gegeben. Für jedes Paar ${}i,j\in I$ sei

${}\mu _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=\mu _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,.$

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes ${}\sigma$-endliches Maß auf ${}X$ mit ${}\mu {|}_{U_{i}}=\mu _{i}$.

Aufgabe

Zeige, dass das zu einer stetigen positiven Volumenform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in Definition 84.3 eingeführte Volumenmaß ein ${}\sigma$- endliches Maß ist.

Aufgabe

Es sei

${}\omega =dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=e_{1}^{*}\wedge \ldots \wedge e_{n}^{*}\,$

die Standard-Volumenform auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit

${}\int _{T}\omega =\int _{T}\,d\lambda ^{n}=\lambda ^{n}(T)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer positiven Volumenform ${}\omega$. Es sei ${}T\subseteq M$ messbar und ${}N\subseteq M$ eine Nullmenge. Zeige, dass

${}\int _{T}\omega =\int _{T\setminus N}\omega \,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es seien ${}\omega _{1}$ und ${}\omega _{2}$ positive Volumenformen auf ${}M$. Zeige, dass für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq M$ und ${}a,b\in \mathbb {R} _{+}$ die Beziehung

${}\int _{T}(a\omega _{1}+b\omega _{2})=a\int _{T}\omega _{1}+b\int _{T}\omega _{2}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Zeige, wie man unter Bezug auf Karten „Nullmengen“ von ${}M$ erklären kann, ohne dass ein Maß gegeben ist. Zeige ferner, dass wenn eine positive Volumenform gegeben ist, diese Nullmengen auch Nullmengen im Sinne der Maßtheorie sind.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ eine messbare Differentialform mit der zurückgezogenen Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(L)$ und es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow L$

eine stetig differenzierbare Kurve (${}I$ ein reelles Intervall). Zeige, dass für die Wegintegrale die Gleichheit

${}\int _{\gamma }\varphi ^{*}\omega =\int _{\varphi \circ \gamma }\omega \,.$

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

eine stetig differenzierbare Funktion und es sei ${}\omega =g(s)ds$ eine ${}1$- Differentialform auf ${}\mathbb {R}$. Bestimme ${}f^{*}\omega$.

Aufgabe

Sei

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Differentialformen

a) ${}xdx+ydy$,

b) ${}xdx-ydy$,

c) ${}ydx+xdy$,

d) ${}ydx-xdy$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Antipodenabbildung

$S^{2}\longrightarrow S^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (-x,-y,-z),$

nicht orientierungstreu ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Es sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$ und es sei ${}\mu$ das durch diese Volumenform definierte Maß auf ${}M$. Zeige, dass dann jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension ${}\leq n-1$ eine Nullmenge ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}a,b,c,d,r,s\geq 1$ natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

$[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{r},t^{s}).$

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform ${}\omega =x^{a}y^{b}dx+x^{c}y^{d}dy$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform ${}\omega =(y-z^{3})dx+x^{2}dy-xzdz$.

Aufgabe (3 Punkte)

Begründe die einzelnen Gleichungen in der zweiten Gleichungskette im Beweis zu Lemma 84.2.

Gehe dabei folgendermaßen vor.

1. Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile

   [[/Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
2. Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort

    {{:Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

   ein.

3. Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Gleichung ein.
4. Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort

   [[Ihr Benutzername/Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   hinschreiben.