Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 84

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und eine Überdeckung aus offenen Mengen, wobei abzählbar sei. Zeige folgende Aussagen.

a) Eine Teilmenge ist genau dann eine Borelmenge, wenn eine Borelmenge ist für jedes .

b) Ein -endliches Maß ist durch die Einschränkungen eindeutig bestimmt.

c) Es sei für jedes ein -endliches Maß auf gegeben. Für jedes Paar sei

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes -endliches Maß auf mit .


Aufgabe

Zeige, dass das zu einer stetigen positiven Volumenform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in Definition 84.3 eingeführte Volumenmaß ein -endliches Maß ist.


Aufgabe

Es sei

die Standard-Volumenform auf dem . Zeige, dass für jede messbare Teilmenge die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer positiven Volumenform . Es sei messbar und eine Nullmenge. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe

Es sei eine -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Topologie und es seien und positive Volumenformen auf . Zeige, dass für jede messbare Teilmenge und die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Topologie. Zeige, wie man unter Bezug auf Karten „Nullmengen“ von erklären kann, ohne dass ein Maß gegeben ist. Zeige ferner, dass wenn eine positive Volumenform gegeben ist, diese Nullmengen auch Nullmengen im Sinne der Maßtheorie sind.


Aufgabe

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Es sei eine messbare Differentialform mit der zurückgezogenen Differentialform und es sei

eine stetig differenzierbare Kurve ( ein reelles Intervall). Zeige, dass für die Wegintegrale die Gleichheit


Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion und es sei eine -Differentialform auf . Bestimme .


Aufgabe

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Differentialformen

a) ,

b) ,

c) ,

d) .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Antipodenabbildung

nicht orientierungstreu ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Topologie. Es sei eine positive Volumenform auf und es sei das durch diese Volumenform definierte Maß auf . Zeige, dass dann jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension eine Nullmenge ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform .


Aufgabe (3 Punkte)

Begründe die einzelnen Gleichungen in der zweiten Gleichungskette im Beweis zu Lemma 84.2.

Gehe dabei folgendermaßen vor.

  1. Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile
    [[/Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]
    schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
  2. Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort
     {{:Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

    ein.

  3. Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Gleichung ein.
  4. Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort
    [[Ihr Benutzername/Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]
    hinschreiben.



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