Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 87/latex

\setcounter{section}{87}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { (x^2-y^3)dx+x^3y^2dy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem $\R^2$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { xy^2dx+yzdy+x^3dz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der $2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {\omega = xdx \wedge dy+xy^2zdy \wedge dz+xe^ydx\wedge dz} { }
auf dem $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ \subseteq }{ \R^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{} und sei \maabbdisp {\psi} {W} {U } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Es sei \maabbdisp {f} {U} {\R } {} eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d (\psi^*f) }
{ =} { \psi^*(df) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, wobei $\psi^*$ das \definitionsverweis {Zurückziehen von Differentialformen}{}{} bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ = }{ (2x- \sin y )dx-x\cos ydy }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf dem $\R^2$ \definitionsverweis {geschlossen}{}{} und auch \definitionsverweis {exakt}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {\omega = xy^2z^3dx+xyzdy+x^3yz^4dz} { }
auf dem $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der $2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {\omega = xy^2dx \wedge dy+(x^3-y^2z^4)dy \wedge dz+ \sin (xy) dx \wedge dz} { }
auf dem $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{U \subseteq \R^n}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und es seien
\mathl{\omega_1 , \ldots , \omega_r}{} Differentialformen auf $U$, wobei $\omega_i$ eine $k_i$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} sei. Finde und beweise eine Formel für
\mathdisp {d( \omega_1 \wedge \ldots \wedge \omega_r)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { { \left( 2xy+3x^2-y e^{xy} \right) } dx + { \left( x^2-xe^{xy} +8y \right) } dy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem $\R^2$ \definitionsverweis {geschlossen}{}{} und auch \definitionsverweis {exakt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Begründe die einzelnen Gleichungen in der Gleichungskette im Beweis zu Lemma 87.2.

Gehe dabei folgendermaßen vor. \aufzaehlungvier{Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile

[[/Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).

}{Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort

 {{:Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

ein. }{Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein. }{Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite(die Sie von der Kursseite auf Wikiversity aus erreichen können) einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort

[[Ihr Benutzername/Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

hinschreiben.

}

}
{} {}