Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 86

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei

eine Linearform. Es sei der Graph dieser Funktion, den wir als riemannsche Mannigfaltigkeit auffassen. Zeige, dass zwischen den Volumina entsprechender Teilmengen des und des Graphen eine konstante Beziehung besteht.


Aufgabe

Diskutiere die Rotationsfläche zu

um die -Achse . Ist eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ? Ist die Menge abgeschlossen in ? Ist der Abschluss von in eine Mannigfaltigkeit?


Aufgabe

Bestätige, dass die in Beispiel *****, Beispiel ***** und Beispiel ***** angegebenen Abbildungen ihr Bild auf der Einheitssphäre haben und bis auf eine Nullmenge surjektiv sind.


Aufgabe

Bestimme die (partiell definierten) Umkehrabbildungen zu den in Beispiel *****, Beispiel ***** und Beispiel ***** angegebenen Abbildungen.


Aufgabe

Zeige, dass Längenkreise und Breitenkreise auf der Erdkugel senkrecht aufeinander stehen.


Aufgabe

Wie lange ist der -ste Breitenkreis auf der Erde (man setze den Erdradius mit km an).


Aufgabe

Bestimme das Infimum und das Supremum der Länge der Bilder der Großkreise auf der in Beispiel ***** beschriebenen Karte.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten den Graph der Funktion

als riemannsche Mannigfaltigkeit. Berechne den Flächeninhalt des Graphen oberhalb des Quadrats .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

die Parabel, also der Graph der Funktion

Zeige, dass die zugehörige Rotationsfläche um die -Achse keine Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Man stelle eine Kugeloberfläche als Rotationsfläche dar und berechne damit den Inhalt der Kugeloberfläche.


Aufgabe (4 Punkte)

Man stelle einen Torus als Rotationsfläche dar und berechne damit seinen Flächeninhalt.


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme den „Abstand“ zwischen Osnabrück und Bangalore (den Erdradius mit km ansetzen) in den beiden folgenden Sinnen.

a) Entlang der Erdoberfläche (Luftlinie).

b) Durch die Erde (Maulwurfslinie).


Aufgabe (6 Punkte)

Wie lange ist das Bild des -sten Breitenkreises auf den in Beispiel *****, Beispiel ***** und Beispiel ***** beschriebenen Karten (man setze den Erdradius mit km an)?



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