Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 89/latex

\setcounter{section}{89}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe eine \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} für die \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} $\R$ an.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe eine \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} für den $\R^d$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Träger}{}{} der folgenden Funktionen von $\R$ nach $\R$. \aufzaehlungsieben{Eine Polynomfunktion. }{Die Sinusfunktion. }{Die Exponentialfunktion. }{Die Indikatorfunktion $e_{ \Z }$. }{Die Indikatorfunktion $e_{ \Q }$. }{Die Indikatorfunktion $e_{ [a,b] }$. }{Die Indikatorfunktion $e_{ ]a,b[ }$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass der \definitionsverweis {Abschluss}{}{} von $T$ gleich dem \definitionsverweis {Träger}{}{} der \definitionsverweis {Indikatorfunktion}{}{}
\mathl{e_{ T }}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{.} Wir betrachten die Familie der \definitionsverweis {Indikatorfunktionen}{}{}
\mathbeddisp {e_{ P }} {}
{P \in X} {}
{} {} {} {.} Welche Eigenschaften einer \zusatzklammer {dieser Überdeckung} {} {} \definitionsverweis {untergeordneten Partition der Eins}{}{} erfüllt diese Familie?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{}
\mathbed {A_n= [-n,n]} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} der \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} und die offene Überdeckung
\mathbed {W_n= A_{n+1}^{o} \setminus A_{n-1}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} \zusatzklammer {es sei
\mathl{A_{-1}= \emptyset}{}} {} {.} Finde eine Überdeckung von $\R$ mit \definitionsverweis {offenen Intervallen}{}{,} die die Eigenschaften aus Lemma 89.8 \zusatzklammer {und seinem Beweis} {} {} erfüllt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathbed {A_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} eines \definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{} $X$. Zeige, dass die Beziehung
\mathdisp {A_{n+1} \setminus A_n^{o} \subseteq A_{n+2}^{o} \setminus A_{n-1}} { }
gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe zur \definitionsverweis {offenen Überdeckung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R }
{ =} { \bigcup_{n \in \Z} ]n,n+3[ }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine untergeordnete stetige \definitionsverweis {Partition der Eins}{}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{}
\mathbeddisp {A_n = B \left( 0,n \right)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} des $\R^2$ und die \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mathbeddisp {W_n= A_{n+1}^{o} \setminus A_{n-1}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} \zusatzklammer {es sei
\mathl{A_{-1}= \emptyset}{}} {} {.} Finde eine Überdeckung des $\R^2$ mit \definitionsverweis {offenen Kreisscheiben}{}{,} die die Eigenschaften aus Lemma 89.8 \zusatzklammer {und seinem Beweis} {} {} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{,} der keine \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} besitzt.

}
{} {}