Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 90

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Diskutiere die Newton-Leibniz-Formel als einen Spezialfall des Satzes von Stokes.


Aufgabe

Es sei eine kompakte -dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Topologie und es sei eine stetig differenzierbare -Differentialform auf . Zeige

Was bedeutet diese Aussage für ? Wie kann man diese Aussage in diesem Fall über ein Wegintegral beweisen?

Aufgabe

Es sei eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Topologie und es sei eine positive Volumenform auf . Zeige, dass nicht exakt ist.

Wie sieht dies ohne die Kompaktheitsvoraussetzung aus?

Aufgabe

Es sei das durch und gegebene Dreieck und eine -Differentialform auf . Finde eine Stammform für und berechne damit durch ein Integral über dem Dreiecksrand.


Aufgabe

Man mache sich klar, dass der Satz von Green nicht behauptet, dass der Flächeninhalt eines umrandeten Gebiets im nur von der Länge des Randes abhängt.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem nichtleeren Rand. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung gibt.


Aufgabe

Es sei () ein Halbraum. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung

gibt, deren Einschränkung auf die Identität ist.

Wie sieht das bei aus?

Aufgabe

Zeige, dass es auf einem Annulus bijektive stetig differenzierbare Abbildungen ohne Fixpunkt gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei das durch und gegebene Dreieck und eine -Differentialform auf . Finde eine Stammform für und berechne damit durch ein Integral über dem Dreiecksrand.


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten den Würfel

und die -Differentialform

Berechne und die beiden Integrale und (getrennt voneinander).


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe über ein geeignetes Wegintegral.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es auf einem Torus bijektive stetig differenzierbare Abbildungen ohne Fixpunkt gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei die abgeschlossene Einheitskreisscheibe und der obere Kreishalbbogen. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung

gibt, deren Einschränkung auf die Identität ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien mit und . Zeige, dass es ein mit gibt.



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