Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 90

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Diskutiere die Newton-Leibniz-Formel als einen Spezialfall des Satzes von Stokes.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine kompakte ${}n$- dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$- Differentialform auf ${}M$. Zeige

${}\int _{M}d\omega =0\,.$

Was bedeutet diese Aussage für ${}S^{1}$? Wie kann man diese Aussage in diesem Fall über ein Wegintegral beweisen?

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei ${}\tau$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Zeige, dass ${}\tau$ nicht exakt ist.

Wie sieht dies ohne die Kompaktheitsvoraussetzung aus?

Aufgabe

Es sei ${}D$ das durch ${}(0,2),\,(1,-1)$ und ${}(-2,-1)$ gegebene Dreieck und ${}\tau =x^{2}ydx\wedge dy$ eine ${}2$- Differentialform auf ${}D$. Finde eine Stammform für ${}\tau$ und berechne damit ${}\int _{D}\tau$ durch ein Integral über dem Dreiecksrand.

Aufgabe

Man mache sich klar, dass der Satz von Green nicht behauptet, dass der Flächeninhalt eines umrandeten Gebiets im ${}\mathbb {R} ^{2}$ nur von der Länge des Randes abhängt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem nichtleeren Rand. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung ${}M\rightarrow \partial M$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ (${}n\geq 1$) ein Halbraum. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon H\longrightarrow \partial H$

gibt, deren Einschränkung auf ${}\partial H$ die Identität ist.

Wie sieht das bei ${}n=0$ aus?

Aufgabe

Zeige, dass es auf einem Annulus bijektive stetig differenzierbare Abbildungen ohne Fixpunkt gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}D$ das durch ${}(0,2),\,(1,-1)$ und ${}(-2,-1)$ gegebene Dreieck und ${}\tau =(3x^{2}y^{5}-x\sin y)dx\wedge dy$ eine ${}2$- Differentialform auf ${}D$. Finde eine Stammform für ${}\tau$ und berechne damit ${}\int _{D}\tau$ durch ein Integral über dem Dreiecksrand.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten den Würfel

${}Q=[-1,1]^{3}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

und die ${}2$- Differentialform

${}\omega =dx\wedge dy+ydx\wedge dz+x^{2}y^{2}z^{2}dy\wedge dz\,.$

Berechne ${}d\omega$ und die beiden Integrale ${}\int _{\partial Q}\omega$ und ${}\int _{Q}d\omega$ (unabhängig voneinander).

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe über ein geeignetes Wegintegral.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es auf einem Torus bijektive stetig differenzierbare Abbildungen ohne Fixpunkt gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}B$ die abgeschlossene Einheitskreisscheibe und ${}K$ der obere Halbkreisbogen. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon B\longrightarrow K$

gibt, deren Einschränkung auf ${}K$ die Identität ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}v,w\in \mathbb {R} ^{n}$ mit ${}\Vert {v}\Vert \leq 1$ und ${}\Vert {w}\Vert =1$. Zeige, dass es ein ${}a\in \mathbb {R}$ mit ${}\Vert {v+aw}\Vert =1$ gibt.