Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 90/latex

\setcounter{section}{90}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere die Newton-Leibniz-Formel als einen Spezialfall des Satzes von Stokes.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} $n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{} \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} \zusatzklammer {ohne Rand} {} {} mit \definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{} und es sei $\omega$ eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} $(n-1)$-\definitionsverweis {Differentialform }{}{} auf $M$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } d\omega }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{Was bedeutet diese Aussage für $S^1$? Wie kann man diese Aussage in diesem Fall über ein Wegintegral beweisen?} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} \zusatzklammer {ohne Rand} {} {} mit \definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{} und es sei $\tau$ eine \definitionsverweis {positive Volumenform}{}{} auf $M$. Zeige, dass $\tau$ nicht \definitionsverweis {exakt}{}{} ist.

}
{Wie sieht dies ohne die Kompaktheitsvoraussetzung aus?} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ das durch $(0,2),\, (1,-1)$ und $(-2,-1)$ gegebene Dreieck und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau }
{ = }{ x^2ydx \wedge dy }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine $2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $D$. Finde eine \definitionsverweis {Stammform}{}{} für $\tau$ und berechne damit
\mathl{\int_{ D } \tau}{} durch ein Integral über dem Dreiecksrand.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich klar, dass der Satz von Green nicht behauptet, dass der Flächeninhalt eines umrandeten Gebiets im $\R^2$ nur von der Länge des Randes abhängt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit einem nichtleeren Rand. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabb {} {M} { \partial M } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} ein \definitionsverweis {Halbraum}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {H} { \partial H } {} gibt, deren \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} auf
\mathl{\partial H}{} die \definitionsverweis {Identität}{}{} ist.

}
{Wie sieht das bei $n=0$ aus?} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es auf einem \definitionsverweis {Annulus}{}{} \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Abbildungen ohne \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} gibt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $D$ das durch $(0,2),\, (1,-1)$ und $(-2,-1)$ gegebene Dreieck und
\mathl{\tau =( 3x^2y^5-x \sin y ) dx \wedge dy}{} eine $2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $D$. Finde eine \definitionsverweis {Stammform}{}{} für $\tau$ und berechne damit
\mathl{\int_{ D } \tau}{} durch ein Integral über dem Dreiecksrand.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Wir betrachten den Würfel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q }
{ =} { [-1,1]^3 }
{ \subseteq} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die $2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { dx \wedge dy +y dx \wedge dz +x^2y^2z^2 dy \wedge dz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne
\mathl{d \omega}{} und die beiden Integrale \mathkor {} {\int_{ \partial Q } \omega} {und} {\int_{ Q } d \omega} {} \zusatzklammer {unabhängig voneinander} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Berechne den Flächeninhalt der \definitionsverweis {abgeschlossenen Einheitskreisscheibe}{}{} über ein geeignetes \definitionsverweis {Wegintegral}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass es auf einem \definitionsverweis {Torus}{}{} \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Abbildungen ohne \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $B$ die \definitionsverweis {abgeschlossene Einheitskreisscheibe}{}{} und $K$ der obere Halbkreisbogen. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {B} {K } {} gibt, deren \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} auf
\mathl{K}{} die \definitionsverweis {Identität}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit \mathkor {} {\Vert {v} \Vert \leq 1} {und} {\Vert {w} \Vert = 1} {.} Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v+aw} \Vert }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}