Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/1/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 1 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Vereinigung} {} der Mengen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Eine \stichwort {bijektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {M} {N } {.}
}{Die \stichwort {geometrische Reihe} {} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der \stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mathbed {b \in \R_+} {}
{b \neq 1} {}
{} {} {} {,}
einer positiven reellen Zahl $x$.
}{\stichwort {Äquivalente} {} \zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{} zur gleichen Variablenmenge über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{Die \stichwort {Determinante} {} einer $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L \cup M
}
{ =} { { \left\{ x \mid x \in L \text{ oder } x \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
}{Die Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
}{Die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty x^k} { }
heißt die geometrische Reihe in $x$.
}{Der
\stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \log_{ b } x
}
{ \defeq} { { \frac{ \ln x }{ \ln b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Zwei
\zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{}
heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
}{Zu
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} sei $M_i$ diejenige
\mathl{(n-1)\times (n-1)}{-}Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
\mathdisp {\det M = \begin{cases} a_{11}\, , & \text{falls } n = 1 \, , \\ \sum_{i =1}^n(-1)^{i+1} a_{i1} \det M_i & \text{ für } n \geq 2 \, . \end{cases}} { }
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das Induktionsprinzip für Aussagen.}{Die Ableitung des natürlichen Logarithmus.}{Die \stichwort {Dimensionsformel} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Für jede natürliche Zahl
$n$ sei eine Aussage
\mathl{A(n)}{} gegeben. Es gelte
\aufzaehlungzwei {$A(0)$ ist wahr.
} {Für alle $n$ gilt: wenn
\mathl{A(n)}{} gilt, so ist auch
\mathl{A(n+1)}{} wahr.
}
Dann gilt
\mathl{A(n)}{} für alle $n$.}{Die Ableitung des natürlichen Logarithmus
\maabbeledisp {\ln} {\R_+} {\R
} {x} { \ln x
} {,}
ist
\maabbeledisp {\operatorname{ln}'} {\R_+} {\R
} {x} { \frac{1}{x}
} {.}}{Unter der Bedingung, dass $V$ endlichdimensional ist, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }
}
{ =} { \operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } + \operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{bild} \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass für jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^n
}
{ \geq} { n^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Für
\mathl{n=1,2,3}{} ergibt sich die Abschätzung durch direktes Nachrechnen. Für
\mathl{n \geq 4}{} wird die Aussage durch Induktion bewiesen. Wir nehmen also an, dass die Aussage für ein
\mathl{n \geq 3}{} schon bewiesen ist und haben sie für $n+1$ zu zeigen. Dies ergibt sich aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 3^{n+1}
}
{ =} { 3 \cdot 3^n
}
{ \geq} {3 n^3
}
{ =} { n^3 + n^3 + n^3
}
{ \geq} { n^3 +3n^2 +3n+1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (n+1)^3
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
wobei wir in der zweiten Zeile die Induktionsvoraussetzung, in der vierten Zeile die Voraussetzung
\mathl{n \geq 3}{} und in der fünften Zeile den binomischen Lehrsatz angewendet haben.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Zwei Fahrradfahrer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer $A$ macht pro Minute $40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von $1$ zu $6$ und Reifen mit einem Radius von $39$ Zentimetern. Fahrer $B$ braucht für eine Pedaldrehung $2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von $1$ zu $7$ und Reifen mit einem Radius von $45$ Zentimetern.
Wer fährt schneller?
}
{
Wir vergleichen die Strecken, die die beiden Fahrer pro Minute zurücklegen. Für Fahrer $A$ ist dies
\zusatzklammer {in Zentimetern} {} {}
\mathdisp {s_A = 40 \cdot 6 \cdot 39 \cdot 2 \pi} { , }
für Fahrer $B$, der $30$ Pedalumdrehungen pro Minute macht, ist dies
\mathdisp {s_B= 30 \cdot 7 \cdot 45 \cdot 2 \pi} { . }
Der Quotient ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ s_A }{ s_B } }
}
{ =} { { \frac{ 40 \cdot 6 \cdot 39 \cdot 2 \pi }{ 30 \cdot 7 \cdot 45 \cdot 2 \pi } }
}
{ =} { { \frac{ 4 \cdot 6 \cdot 39 }{ 3 \cdot 7 \cdot 45 } }
}
{ =} { { \frac{ 4 \cdot 2 \cdot 13 }{ 7 \cdot 15 } }
}
{ =} { { \frac{ 104 }{ 105 } }
}
}
{}{}{.}
Also fährt $B$ schneller als $A$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2 (0.5+1+0.5)}
{
a) Berechne
\mathdisp {(4-7 { \mathrm i})(5+3 { \mathrm i})} { . }
b) Bestimme das inverse Element
\mathl{z^{-1}}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { 3+4 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Welchen Abstand hat $z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (4-7 { \mathrm i})(5+3 { \mathrm i})
}
{ =} {20 +21 -35 { \mathrm i} +12 { \mathrm i}
}
{ =} {41 -23 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Das inverse Element zu $z$ ist
\mathl{{ \frac{ \overline{ z } }{ z \overline{ z } } }}{,} also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z^{-1}
}
{ =} { { \frac{ a-b { \mathrm i} }{ a^2+b^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 3-4 { \mathrm i} }{ 3^2+4^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 25 } } - { \frac{ 4 }{ 25 } } { \mathrm i}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Der Abstand von $z$ zum Nullpunkt ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ = }{ \sqrt{25}
}
{ = }{ 5
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
daher ist der Abstand von $z^{-1}$ zum Nullpunkt gleich ${ \frac{ 1 }{ 5 } }$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {reelle Folgen}{}{.} Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen $a$ konvergiert.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n -a
}
{ \leq} { y_n-a
}
{ \leq} { z_n-a
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mathl{y_n-a \geq 0}{} ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a }
}
{ \leq} { \betrag { z_n-a }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und bei
\mathl{y_n-a \leq 0}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a }
}
{ \leq} { \betrag { x_n-a }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist stets
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a }
}
{ \leq} { {\max { \left( \betrag { x_n-a } , \betrag { z_n-a } \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für ein vorgegebenes
\mathl{\epsilon > 0}{} gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen $a$ natürliche Zahlen
\mathbed {n_1} {und}
{n_2} {}
{} {} {} {}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-a }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{n \geq n_1}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z_n-a }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{n \geq n_2}{} gilt. Für
\mathl{n \geq n_0 = {\max { \left( n_1 , n_2 \right) } }}{} gilt daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet die Konvergenz von $y_n$ gegen $a$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}
}
{
Die Formel für
\mathl{x_{n+1}}{} lautet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x_n + { \frac{ 7 }{ x_n } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_1
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 3 + { \frac{ 7 }{ 3 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 9+7 }{ 3 } } \right) }
}
{ =} {{ \frac{ 16 }{ 6 } }
}
{ =} {{ \frac{ 8 }{ 3 } }
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } + { \frac{ 7 }{ 8/3 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } + { \frac{ 21 }{ 8 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 64+63 }{ 24 } }
}
{ =} { { \frac{ 127 }{ 48 } }
}
}
{}{}{.}
Schließlich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_3
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 127 }{ 48 } } + { \frac{ 7 }{ 127/48 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 127 }{ 48 } } + { \frac{ 336 }{ 127 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 16129+16128 }{ 6096 } }
}
{ =} { { \frac{ 32257 }{ 12192 } }
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Untersuche, ob die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 2n+5 }{ 4n^3-3n+2 } }} { }
konvergiert oder divergiert.
}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2n+5
}
{ \leq} {3n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4n^3-3n+2
}
{ =} { n^3 +3n^3-3n +2
}
{ \geq} { n^3 +3 n (n^2-1)
}
{ \geq} { n^3
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher gilt für die Reihenglieder für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2n+5 }{ 4n^3-3n+2 } }
}
{ \leq} { { \frac{ 3n }{ 4n^3-3n+2 } }
}
{ \leq} { { \frac{ 3n }{ n^3 } }
}
{ =} { 3 { \frac{ 1 }{ n^2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Reihe
\mathl{\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^2 } }}{} konvergiert nach
[[Reelle Reihe/Kehrwerte der Quadrate/Konvergenz/Beispiel|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Reelle Reihe/Kehrwerte der Quadrate/Konvergenz/Beispiel/Beispielreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
und dies gilt auch für
\mathl{\sum_{n=1}^\infty 3 { \frac{ 1 }{ n^2 } }}{.} Nach dem
Majorantenkriterium
konvergiert auch
\mathdisp {\sum_{n=5}^\infty { \frac{ 2n+5 }{ 4n^3-3n+2 } }} { }
und daher konvergiert auch die in Frage stehende Reihe.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Es bezeichne (1) die Stetigkeit von $f$ im Punkt $x$ und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen $x$ konvergente Folge ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} gegen
\mathl{f(x)}{} konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei (1) erfüllt und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge in $\R$, die gegen $x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n)
}
{ =} { f(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dazu sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ gibt es eine natürliche Zahl $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(x_n,x)
}
{ \leq} { \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Nach der Wahl von $\delta$ ist dann
\mathdisp {d(f(x_n), f(x)) \leq \epsilon \text{ für alle } n \geq n_0} { , }
so dass die Bildfolge gegen
\mathl{f(x)}{} konvergiert.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei (2) erfüllt. Wir nehmen an, dass $f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass es für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, deren Abstand zu $x$ maximal gleich $\delta$ ist, deren Wert
\mathl{f(z)}{} unter der Abbildung aber zu
\mathl{f(x)}{} einen Abstand besitzt, der größer als $\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
\mathbed {\delta=1/n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {.}
D.h. für jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {d(x_n ,x) \leq \frac{1}{n} \text{ und mit } d(f(x_n), f(x)) > \epsilon} { . }
Diese so konstruierte Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert gegen $x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen
\mathl{f(x)}{,} da der Abstand der Bildfolgenglieder zu
\mathl{f(x)}{} zumindest $\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).}
{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.
}
{
Die geometrische Reihe ist
\mathl{\sum_{n=0}^\infty x^n}{} und die Exponentialreihe ist
\mathl{\sum_{n=0}^\infty { \frac{ 1 }{ n! } } x^n}{.} Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen ergibt sich einfach dadurch, dass man jeden Summanden mit jedem Summanden multipliziert und gleiche Potenzen aufsummiert. Daher können die Potenzen
\mathl{x^5,x^6,}{} etc. ignoriert werden und es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{
}
{ \,} { (1+x+x^2+x^3+x^4) { \left( 1+x + { \frac{ 1 }{ 2 } }x^2 + { \frac{ 1 }{ 6 } }x^3 + { \frac{ 1 }{ 24 } }x^4 \right) }
}
{ =} {{ \left( 1+x + { \frac{ 1 }{ 2 } }x^2 + { \frac{ 1 }{ 6 } }x^3 + { \frac{ 1 }{ 24 } } x^4 \right) }
+ { \left( x + x^2+{ \frac{ 1 }{ 2 } }x^3 + { \frac{ 1 }{ 6 } }x^4 \right) } + { \left( x^2 + x^3+{ \frac{ 1 }{ 2 } }x^4 \right) } + x^3+x^4 +x^4 + \ldots
}
{ =} { 1 +2x + { \frac{ 5 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 8 }{ 3 } } x^3 + { \frac{ 65 }{ 24 } } x^4 + \ldots
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der beiden Reihen ist also
\mathdisp {1 +2x + \frac{ 5 }{ 2 } x^2 + \frac{ 8 }{ 3 } x^3 + \frac{ 65 }{ 24 } x^4} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = \ln \left( \sqrt{1+x^2} \right) } {.}
a) Bestimme die Ableitung $f'$.
b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime}$.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{1+x^2 } }} \cdot { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ \sqrt{1+x^2 } }} \cdot 2 x
}
{ =} { { \frac{ x }{ 1+x^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime}(x)
}
{ =} { { \left( { \frac{ x }{ 1+x^2 } } \right) } ^\prime
}
{ =} { { \frac{ (1+x^2)- x (2x) }{ (1+x^2)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1- x^2 }{ 1+2x^2+x^4 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2+1 } {.} Bestimme die Tangenten an $f$, die lineare Funktionen sind \zusatzklammer {die also durch den Nullpunkt verlaufen} {} {.}
}
{
Eine lineare Funktion wird durch
\mathl{g(x)=ax}{} mit
\mathl{a \in \R}{} beschrieben. Eine lineare Funktion, die im Punkt
\mathl{(x,f(x))}{} tangential zu $f$ ist, muss
\mathl{a=f'(x)}{} und
\mathl{f(x)=ax}{} erfüllen. Daraus ergibt sich die Bedingung
\mathdisp {x^2 +1 = (2x) x} { }
bzw.
\mathdisp {x^2=1} { . }
Also ist
\mathkor {} {x=1} {oder} {x=-1} {.}
Daher gibt es zwei Tangenten an $f$, die lineare Funktionen sind, nämlich
\mathl{2x}{} und
\mathl{-2x}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} { \sqrt[3]{x^2}
} {.}
Bestimme die Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
in denen $f$ differenzierbar ist.
}
{
Die Funktion
\mathl{x \mapsto x^3}{} ist überall differenzierbar und die Ableitung ist nur an der Stelle
\mathl{x=0}{} gleich $0$. Daher ist die Umkehrfunktion
\mathl{y \mapsto \sqrt[3]{y}}{} für
\mathl{y \neq 0}{} differenzierbar. Daher ist auch $f$ als Hintereinanderschaltung von
\mathl{x \mapsto x^2}{} und dieser Funktion für
\mathl{x \neq 0}{} differenzierbar.
Für
\mathl{x=0}{} betrachten wir direkt den Differenzenquotient, also für
\mathl{h \neq 0}{} den Ausdruck
\mathdisp {{ \frac{ \sqrt[3]{h^2} }{ h } }} { . }
Wir betrachten positive $h$ und können den Nenner als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ =} {\sqrt[3]{h^3}
}
{ =} { \sqrt[3]{h^2} \cdot \sqrt[3]{h}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Daher ist der Differenzenquotient gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \sqrt[3]{h^2} }{ h } }
}
{ =} { { \frac{ \sqrt[3]{h^2} }{ \sqrt[3]{h^2} \cdot \sqrt[3]{h} } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt[3]{h} } }
}
{ =} { \sqrt[3]{ { \frac{ 1 }{ h } } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mathl{h_n = { \frac{ 1 }{ n } }}{} steht hier
\mathl{\sqrt[3]{n}}{} und dies divergiert, also existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Daher ist $f$ in $0$ nicht differenzierbar.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {4 \sin^{ 2 } t \cdot \cos t -5t^{11}} { . }
}
{
Eine Stammfunktion ist
\mathdisp {{ \frac{ 4 }{ 3 } } \sin^{ 3 } t - { \frac{ 5 }{ 12 } } t^{12}} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Im $\R^3$ seien die beiden Untervektorräume
\mathdisp {U= { \left\{ s \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} }} { }
und
\mathdisp {V = { \left\{ p \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 5 \\2\\ -4 \end{pmatrix} \mid p,q \in \R \right\} }} { }
gegeben. Bestimme eine Basis für
\mathl{U \cap V}{.}
}
{
Jeder Vektor aus dem Durchschnitt
\mathl{U \cap V}{} besitzt eine Darstellung
\mathdisp {s \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix} = p \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 5 \\2\\ -4 \end{pmatrix}} { . }
Die Koeffiziententupel
\mathl{(s,t,p,q)}{} bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & -3 & -5 \\ 1 & -2 & -1 & -2 \\ 7 & 9 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s \\t\\ p\\q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { , }
das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch
\mathdisp {I'=I-3II: \, \, -s+10t + q = 0} { }
und die dritte Gleichung durch
\mathdisp {III'= III-4I':\, \, 11 s -31 t = 0} { . }
Wir wählen
\mathl{s=31}{,} so dass
\mathl{t=11}{} sein muss. Dies legt eindeutig $q$ und dann auch $p$ fest. Daher ist der Durchschnitt
\mathl{U \cap V}{} eindimensional und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 31 \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} +11 \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 62+44 \\31-22\\ 217+99 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 106 \\9\\ 316 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist ein Basisvektor von
\mathl{U \cap V}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+1+2)}
{
Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
\aufzaehlungvier{Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5 \%$ wechseln zu $C$ und $5 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20 \%$ wechseln zu $C$ und $10 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10 \%$ wechseln zu $B$ und $20 \%$ werden Nichtleser.
}{Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von
\mathl{A,B}{} oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
}
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100 000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen \zusatzklammer {und wie viele Nichtleser gibt es noch} {} {} nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
}
{
a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen
\zusatzklammer {in der Reihenfolge
\mathl{A,B,C}{} und Nichtleser} {} {}
beschreibt, ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix}} { . }
b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung
\mathl{(20000,20000,20000,40000)}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 20000 \\20000\\ 20000\\40000 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 22000 \\20000\\ 23000\\35000 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Die Ausgangsverteilung ist
\mathl{(0,0,0,100000)}{,} daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich
\mathl{(10000,10000,10000,70000)}{.}
Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10000 \\10000\\ 10000\\70000 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 16000 \\15000\\ 16500\\52500 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 16000 \\15000\\ 16500\\52500 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 12800+1500+5250 \\1600+9000+1650+5250\\ 800+3000+11550+5250\\800+1500+3300+36750 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 19550 \\17500\\ 20600\\42350 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }
}
{
\matabellezweifuenf {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & -13 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - { \frac{ 1 }{ 13 } } \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 5 }{ 13 } } & - { \frac{ 1 }{ 13 } } & 0 \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 5 }{ 13 } } & - { \frac{ 1 }{ 13 } } & { \frac{ 1 }{ 26 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} -{ \frac{ 2 }{ 13 } } & { \frac{ 3 }{ 13 } } & - { \frac{ 3 }{ 26 } } \\ { \frac{ 5 }{ 13 } } & - { \frac{ 1 }{ 13 } } & { \frac{ 1 }{ 26 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
} }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\lambda \in K}{} genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$ ist, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des
\definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} ist.
}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
für $\varphi$, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }\, (\lambda)
}
{ =} { \det \left( \lambda E_{ n } - M \right)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn die lineare Abbildung
\mathdisp {\lambda
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi} { }
nicht
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
\zusatzklammer {und nicht
\definitionsverweis {injektiv}{}{}} {} {}
ist
\zusatzklammer {wegen
Satz 26.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
und
Lemma 25.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))} {} {.}
Dies ist nach
Lemma 27.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
und
Lemma 24.14 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} ( \lambda
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi)
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was bedeutet, dass der
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zu $\lambda$ nicht der Nullraum ist, also $\lambda$ ein Eigenwert zu $\varphi$ ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} der Funktion \maabbele {} {\R} { \R } {x} { \pi x } {.}
}
{
Jede reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\pi$.
}