Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Verschiedene Eigenschaften/Fakt

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Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
  2. ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.
  3. Bei ist genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn invertierbar ist.
Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen