Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 3 2 2 5 3 4 7 4 2 3 5 2 4 4 3 4 1 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Vereinigung der Mengen und .
  2. Eine bijektive Abbildung
  3. Die geometrische Reihe für .
  4. Der Logarithmus zur Basis , , einer positiven reellen Zahl .
  5. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper .
  6. Die Determinante einer -Matrix .


Lösung

  1. Die Menge

    heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

  2. Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
  3. Die Reihe
    heißt die geometrische Reihe in .
  4. Der Logarithmus zur Basis , , von ist durch

    definiert.

  5. Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
  6. Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Induktionsprinzip für Aussagen.
  2. Die Ableitung des natürlichen Logarithmus.
  3. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung


Lösung

  1. Für jede natürliche Zahl sei eine Aussage gegeben. Es gelte
    1. ist wahr.
    2. Für alle gilt: wenn gilt, so ist auch wahr.
    Dann gilt für alle .
  2. Die Ableitung des natürlichen Logarithmus

    ist

  3. Unter der Bedingung, dass endlichdimensional ist, gilt


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für jede natürliche Zahl die Abschätzung

gilt.


Lösung

Für ergibt sich die Abschätzung durch direktes Nachrechnen. Für wird die Aussage durch Induktion bewiesen. Wir nehmen also an, dass die Aussage für ein schon bewiesen ist und haben sie für zu zeigen. Dies ergibt sich aus

wobei wir in der zweiten Zeile die Induktionsvoraussetzung, in der vierten Zeile die Voraussetzung und in der fünften Zeile den binomischen Lehrsatz angewendet haben.


Aufgabe (2 Punkte)

Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.

Wer fährt schneller?


Lösung

Wir vergleichen die Strecken, die die beiden Fahrer pro Minute zurücklegen. Für Fahrer ist dies (in Zentimetern)

für Fahrer , der Pedalumdrehungen pro Minute macht, ist dies

Der Quotient ist

Also fährt schneller als .


Aufgabe (2 (0.5+1+0.5) Punkte)

a) Berechne

b) Bestimme das inverse Element zu .

c) Welchen Abstand hat aus Teil (b) zum Nullpunkt?


Lösung

a) Es ist

b) Das inverse Element zu ist , also ist

c) Der Abstand von zum Nullpunkt ist , daher ist der Abstand von zum Nullpunkt gleich .


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und drei reelle Folgen. Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen konvergiert.


Lösung

Es ist

Bei ist somit

und bei ist

Daher ist stets

Für ein vorgegebenes gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen natürliche Zahlen  und derart, dass

für und

für gilt. Für gilt daher

Dies bedeutet die Konvergenz von gegen .


Aufgabe (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).


Lösung

Die Formel für lautet

Daher ist

Somit ist

Schließlich ist


Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche, ob die Reihe

konvergiert oder divergiert.


Lösung

Für ist

und für ist

Daher gilt für die Reihenglieder für die Abschätzung

Die Reihe konvergiert nach Beispiel 9.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und dies gilt auch für . Nach dem Majorantenkriterium konvergiert auch

und daher konvergiert auch die in Frage stehende Reihe.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .


Lösung

Es bezeichne (1) die Stetigkeit von im Punkt und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen konvergente Folge die Bildfolge gegen konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.

Sei (1) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass

ist. Dazu sei vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Nach der Wahl von ist dann

so dass die Bildfolge gegen konvergiert.
Sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass nicht stetig ist. Dann gibt es ein derart, dass es für alle Elemente gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand besitzt, der größer als ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche , . D.h. für jede natürliche Zahl gibt es ein mit

Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenglieder zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.


Lösung

Die geometrische Reihe ist und die Exponentialreihe ist . Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen ergibt sich einfach dadurch, dass man jeden Summanden mit jedem Summanden multipliziert und gleiche Potenzen aufsummiert. Daher können die Potenzen etc. ignoriert werden und es ist

Das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der beiden Reihen ist also


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Lösung

a) Es ist

b) Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme die Tangenten an , die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).


Lösung

Eine lineare Funktion wird durch mit beschrieben. Eine lineare Funktion, die im Punkt tangential zu ist, muss und erfüllen. Daraus ergibt sich die Bedingung

bzw.

Also ist oder . Daher gibt es zwei Tangenten an , die lineare Funktionen sind, nämlich und .


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme die Punkte , in denen differenzierbar ist.


Lösung

Die Funktion ist überall differenzierbar und die Ableitung ist nur an der Stelle gleich . Daher ist die Umkehrfunktion für differenzierbar. Daher ist auch als Hintereinanderschaltung von und dieser Funktion für differenzierbar.

Für betrachten wir direkt den Differenzenquotient, also für den Ausdruck

Wir betrachten positive und können den Nenner als

schreiben. Daher ist der Differenzenquotient gleich

Für steht hier und dies divergiert, also existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Daher ist in nicht differenzierbar.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Lösung

Eine Stammfunktion ist


Aufgabe (4 Punkte)

Im seien die beiden Untervektorräume

und

gegeben. Bestimme eine Basis für .


Lösung

Jeder Vektor aus dem Durchschnitt besitzt eine Darstellung

Die Koeffiziententupel bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch

und die dritte Gleichung durch

Wir wählen , so dass sein muss. Dies legt eindeutig und dann auch fest. Daher ist der Durchschnitt eindimensional und

ist ein Basisvektor von .


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge und Nichtleser) beschreibt, ist

b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ist

c) Die Ausgangsverteilung ist , daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich .

Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.


Lösung

Es sei eine beschreibende Matrix für , und sei vorgegeben. Es ist

genau dann, wenn die lineare Abbildung

nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Satz 26.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Lemma 25.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))). Dies ist nach Lemma 27.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Lemma 24.14 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) äquivalent zu

was bedeutet, dass der Eigenraum zu nicht der Nullraum ist, also ein Eigenwert zu ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Eigenvektoren der Funktion , .


Lösung

Jede reelle Zahl ist ein Eigenvektor zum Eigenwert .