Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/44/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 6 3 5 4 8 3 3 3 4 5 3 4 2 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Körper.
  2. Eine wachsende reelle Folge.
  3. Der Grenzwert zu einer auf definierten Funktion

    in einem Punkt .

  4. Die reelle Exponentialfunktion.
  5. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

    auf einem Intervall zur Unterteilung und den Werten , .

  6. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
  2. Die Kreisgleichung für die trigonometrischen Funktionen.
  3. Der Charakterisierungssatz für eine Basis in einem -Vektorraum .


Aufgabe * (1 Punkt)

Das Brötchen von vorvorgestern ist überüberübermorgen von ....?


Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

  1. Skizziere vier Geraden im Raum mit der Eigenschaft, dass es insgesamt zwei Schnittpunkte gibt.
  2. Skizziere vier Geraden in der Ebene mit der Eigenschaft, dass es insgesamt drei Schnittpunkte gibt.
  3. Zeige, dass es in der Ebene nicht vier Geraden geben kann, die insgesamt zwei Schnittpunkte besitzen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die naürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl , also

Zeige durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich ist, also


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .


Aufgabe * (8 (3+2+3) Punkte)

  1. Bestimme ein Polynom vom Grad mit

    und

  2. Bestimme ein normiertes Polynom vom Grad mit

    und

  3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu und zu .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Konvergenzverhalten der durch

gegebenen Folge.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

induziert.


Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige gerade Funktion , die im Nullpunkt kein lokales Extremum besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme den Flächeninhalt des durch die -Achse und den Graphen von eingeschränkten Gebietes.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

  1. Zeige durch Induktion über , dass die Determinante einer -Matrix, deren sämtliche Einträge ganze Zahlen sind, ebenfalls eine ganze Zahl ist.
  2. Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, deren sämtliche Einträge positive natürliche Zahlen sind und deren Determinante negativ ist.