Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/44/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	6	3	5	4	8	3	3	3	4	5	3	4	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Das Brötchen von vorvorgestern ist überüberübermorgen von ....?

Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Skizziere vier Geraden im Raum mit der Eigenschaft, dass es insgesamt zwei Schnittpunkte gibt.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene mit der Eigenschaft, dass es insgesamt drei Schnittpunkte gibt.
3. Zeige, dass es in der Ebene nicht vier Geraden geben kann, die insgesamt zwei Schnittpunkte besitzen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die naürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl ${}n$, also

${}+$	${}1$	${}2$	${}3$	${}\ldots$	${}n-1$	${}n$
${}1$	${}1+1$	${}1+2$	${}1+3$	${}\ldots$	${}1+n-1$	${}1+n$
${}2$	${}2+1$	${}2+2$	${}2+3$	${}\ldots$	${}2+n-1$	${}2+n$
${}3$	${}3+1$	${}3+2$	${}3+3$	${}\ldots$	${}3+n-1$	${}3+n$
${}\ldots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$
${}n-1$	${}n-1+1$	${}n-1+2$	${}n-1+3$	${}\ldots$	${}n-1+n-1$	${}n-1+n$
${}n$	${}n+1$	${}n+2$	${}n+3$	${}\ldots$	${}n+n-1$	${}n+n$

Zeige durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich ${}(n+1)n^{2}$ ist, also

${}\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq n}(i+j)=(n+1)n^{2}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (8 (3+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Bestimme ein Polynom ${}P$ vom Grad ${}\leq 3$ mit

   ${}P(-1)=-4\,,$

   ${}P(0)=2\,,$

   ${}P(1)=2\,$

   und

   ${}P(2)=3\,$

2. Bestimme ein normiertes Polynom ${}Q$ vom Grad ${}3$ mit

   ${}Q(0)=1\,,$

   ${}Q(2)=3\,$

   und

   ${}Q(3)=10\,.$

3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu ${}P$ und zu ${}Q$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Konvergenzverhalten der durch

${}x_{n}=(-1)^{n}{\frac {7n^{2}-8n+6}{4n^{2}+3n-1}}\,$

gegebenen Folge.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

$5^{\frac {2}{3}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1]$

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1]$

induziert.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine stetige gerade Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die im Nullpunkt kein lokales Extremum besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

${}f(x)=x^{2}+2x-3\,.$

Bestimme den Flächeninhalt des durch die ${}x$-Achse und den Graphen von ${}f$ eingeschränkten Gebietes.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Die Zeitungen ${}A,B$ und ${}C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit ${}100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

1. Die Abonnenten von ${}A$ bleiben zu ${}90\%$ bei ${}A$, ${}0\%$ wechseln zu ${}B$, ${}5\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}5\%$ werden Nichtleser.
2. Die Abonnenten von ${}B$ bleiben zu ${}60\%$ bei ${}B$, ${}10\%$ wechseln zu ${}A$, ${}15\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}15\%$ werden Nichtleser.
3. Die Abonnenten von ${}C$ bleiben zu ${}70\%$ bei ${}C$, niemand wechselt zu ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}B$ und ${}20\%$ werden Nichtleser.
4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je ${}10\%$ für ein Abonnement von ${}A,B$ oder ${}C$, die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je ${}20000$ Abonnenten und es gibt ${}40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls ${}100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}4&1\\5&3\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Zeige durch Induktion über ${}n$, dass die Determinante einer ${}n\times n$-Matrix, deren sämtliche Einträge ganze Zahlen sind, ebenfalls eine ganze Zahl ist.
2. Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, deren sämtliche Einträge positive natürliche Zahlen sind und deren Determinante negativ ist.