Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/48/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	4	1	7	3	7	6	5	4	4	3	3	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Primzahl.
2. Eine Teilfolge einer Folge reeller Zahlen.
3. Eine gerade Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
4. Der Logarithmus zur Basis ${}b\in \mathbb {R} _{+}$, ${}b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl ${}x$.
5. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

6. Eine Basis eines ${}K$- Vektorraums ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.
2. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
3. Der Satz über die Beziehung zwischen Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$ ${}q$ ${}r$ ${}?$ w w w w w w f f w f w f w f f f f w w f f w f f f f w f f f f w

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine injektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ derart gibt, dass man ${}\varphi$ als Abbildung

$\varphi '\colon L\longrightarrow T$

auffassen kann (${}\varphi$ und ${}\varphi '$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs) und dass ${}\varphi '$ bijektiv ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}21,7$ Meter beträgt. Dieser soll auf die Weltbevölkerung (${}8$ Milliarden) gleichmäßig aufgeteilt und als Goldwürfel ausgeteilt werden. Welche Seitenlänge hat der Würfel, den jeder Mensch bekommt?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}x,y$ rationale Zahlen. Zeige, dass

${}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor \,$

genau dann gilt, wenn es ein ${}n\in \mathbb {Z}$ mit ${}y=x+n$ gibt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Schreibe das Polynom

$X^{4}-1$

als Produkt von Linearfaktoren in ${}{\mathbb {C} }[X]$.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)

1. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, ${}y_{n}\neq 0$, derart, dass ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen ${}1$ konvergiert, aber ${}x_{n}-y_{n}$ nicht konvergiert.
2. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, ${}y_{n}\neq 0$, derart, dass ${}x_{n}-y_{n}$ gegen ${}0$ konvergiert, aber ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ nicht konvergiert.
3. Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen derart, dass ${}x_{n}-y_{n}$ gegen ${}0$ konvergiert. Es gebe ein ${}a>0$ mit

   ${}y_{n}\geq a\,$

   für alle ${}n$. Zeige, dass ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen ${}1$ konvergiert.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Funktion ${}f(x)={\left(\cos x\right)}^{1/x}$ für ${}x\rightarrow 0$ (${}x>0$).

Aufgabe * (4 Punkte)

Die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion überkreuzen sich mehrfach und begrenzen dabei Gebiete mit einem endlichen Flächeninhalt. Bestimme den Flächeninhalt eines solchen Gebietes.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Quadratabbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{2},$

für verschiedene Körper ${}K$.

1. Ist ${}\varphi$ linear für

   ${}K=\mathbb {Q} \,?$

2. Ist ${}\varphi$ linear für

   ${}K=\mathbb {Z} /(2)\,,$

   dem Körper mit zwei Elementen.

3. Es sei nun ${}K$ ein Körper, in dem ${}2=1+1=0$ gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist ${}\varphi$ linear? Ist ${}\varphi$ verträglich mit der Addition?

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}-2-{\mathrm {i} }&3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\0&6+7{\mathrm {i} }&4\\3+3{\mathrm {i} }&4-3{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Finde ganze Zahlen ${}a,b,c,d,e,f$ derart, dass die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}6&10&15\\a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}$

gleich ${}1$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und seien ${}\varphi ,\psi \colon V\rightarrow V$ lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von ${}\varphi +\psi$ bestimmen?