Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/48/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 3 2 4 1 7 3 7 6 5 4 4 3 3 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Primzahl.
  2. Eine Teilfolge einer Folge reeller Zahlen.
  3. Eine gerade Funktion .
  4. Der Logarithmus zur Basis , , einer positiven reellen Zahl .
  5. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
  6. Eine Basis eines -Vektorraums .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.
  2. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
  3. Der Satz über die Beziehung zwischen Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w w w
w w f f
w f w f
w f f f
f w w f
f w f f
f f w f
f f f w


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

eine injektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge derart gibt, dass man als Abbildung

auffassen kann ( und unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs) und dass bijektiv ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge Meter beträgt. Dieser soll auf die Weltbevölkerung ( Milliarden) gleichmäßig aufgeteilt und als Goldwürfel ausgeteilt werden. Welche Seitenlänge hat der Würfel, den jeder Mensch bekommt?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien rationale Zahlen. Zeige, dass

genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Schreibe das Polynom

als Produkt von Linearfaktoren in .


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)

  1. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen und , , derart, dass gegen konvergiert, aber nicht konvergiert.
  2. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen und , , derart, dass gegen konvergiert, aber nicht konvergiert.
  3. Es seien und reelle Folgen derart, dass gegen konvergiert. Es gebe ein mit

    für alle . Zeige, dass gegen konvergiert.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Funktion für ().


Aufgabe * (4 Punkte)

Die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion überkreuzen sich mehrfach und begrenzen dabei Gebiete mit einem endlichen Flächeninhalt. Bestimme den Flächeninhalt eines solchen Gebietes.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Quadratabbildung

für verschiedene Körper .

  1. Ist linear für
  2. Ist linear für

    dem Körper mit zwei Elementen.

  3. Es sei nun ein Körper, in dem gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist linear? Ist verträglich mit der Addition?


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe * (3 Punkte)

Finde ganze Zahlen derart, dass die Determinante der Matrix

gleich ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und seien lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von bestimmen?