Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 13.1.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ n^k } } \right) }_{ n \in \N }}{} gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $\Q$, die \zusatzklammer {in $\Q$} {} {} nicht \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {reelle Folge}{}{,} die nicht konvergiert, aber eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine nichtnegative
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die rekursiv definierte
\definitionsverweis {Folge}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \defeq} { \frac{ x_n + a/x_n }{2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegen $\sqrt{a}$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ die Folge der
\definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ f_n }{ f_{n-1} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Folge in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und dass der Grenzwert $x$ die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {1 + x^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt. Berechne daraus $x$.
}
{} {Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.}
Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.
Zu zwei
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
heißt
\mathdisp {{ \frac{ x+y }{ 2 } }} { }
das \definitionswort {arithmetische Mittel}{.}
Zu zwei nichtnegativen
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
heißt
\mathdisp {\sqrt{ x \cdot y}} { }
das \definitionswort {geometrische Mittel}{.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
in $\R$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathl{x^n,\, n \in \N}{,}
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{}
gegen $+ \infty$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {reellen Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{,} für die es sowohl eine
\definitionsverweis {bestimmt}{}{}
gegen $+ \infty$ als auch eine bestimmt gegen $- \infty$ divergente
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
gibt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe Beispiele für
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {reelle Folgen}{}{}
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
mit
\mathbed {x_n \neq 0} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
und mit $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=0$ derart, dass die Folge
\mathdisp {{ \left( { \frac{ y_n }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }} { }
\aufzaehlungdrei{gegen $0$ konvergiert,
}{gegen $1$ konvergiert,
}{divergiert.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es seien
\mathkor {} {P = \sum_{ i = 0 }^{ d } a_{ i } x^{ i}} {und} {Q = \sum_{ i = 0 }^{ e } b_{ i } x^{ i}} {} \definitionsverweis {Polynome}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_d, b_e
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man bestimme in Abhängigkeit von
\mathkor {} {d} {und} {e} {,}
ob die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_n
}
{ =} { { \frac{ P(n) }{ Q(n) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für $n$ hinreichend groß} {} {} definierte \definitionsverweis {Folge}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
in $\R$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \in }{ I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung
bestimmte Zahl
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{b > a > 0}{} positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
durch
\mathl{x_0= a}{,}
\mathl{y_0= b}{} und durch
\mathdisp {x_{n+1} = \text{ geometrisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { , }
\mathdisp {y_{n+1} = \text{ arithmetisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { . }
Zeige, dass
\mathl{[x_n,y_n]}{} eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( \sqrt{n} \right) }_{ n \in \N }}{}
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{}
gegen $\infty$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge genau dann
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{}
gegen $+ \infty$ ist, wenn ${ \left( \frac{1}{x_n} \right) }_{ n \in \N }$ gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Weihnachtsaufgabe}
Die folgende Aufgabe soll bis zum 4.1.2012 (getrennt von den anderen Aufgaben) abgegeben werden. Die erreichten Punkte fließen zusätzlich auf Ihr Punktekonto.
\inputaufgabe
{10}
{
In einem weihnachtlich geschmückten Raum befinden sich $n \geq 4$ Personen, die wichteln wollen. D.h. für jede Person $A$ muss eine weitere Person $B \neq A$ bestimmt werden, für die $A$ ein Geschenk besorgen soll\zusatzfussnote {Dabei soll jede Person genau ein Geschenk bekommen} {.} {.} Jede Person darf nur wissen \zusatzklammer {und weiß} {} {,} wen sie beschenken soll, und keine Person darf mehr wissen\zusatzfussnote {Dies soll auch bedeuten, dass für jede Person alle anderen Personen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit als Schenker in Frage kommen} {.} {.} Die Personen bleiben die ganze Zeit im Raum, sie schauen nicht weg oder Ähnliches. Es stehen allein Papier und Stifte zur Verfügung. Mischen ist erlaubt, d.h. man darf \anfuehrung{zufällige}{} Permutationen von optisch gleichen Objekten vornehmen, und diese sind nicht rekonstruierbar. Es darf gelost werden und dabei darf eine gezogene Information verdeckt gelesen werden. Zettel dürfen \zusatzklammer {auch heimlich} {} {} beschrieben werden.
Entwerfe ein einmalig durchzuführendes Verteilungsverfahren, das all diese Bedingungen erfüllt.
}
{} {}
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