Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 13/latex

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\setcounter{section}{13}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 13.1.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathl{k \in \N_+}{.} Zeige, dass die Folge
\mathl{\left( { \frac{ 1 }{ n^k } } \right)_{ n \in \N }}{} gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $\Q$, die \zusatzklammer {in $\Q$} {} {} nicht \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {reelle Folge}{}{,} die nicht konvergiert, aber eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} enthält.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $a \in \R_{\geq 0}$ eine nichtnegative \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} und $x_0 \in \R_+$. Zeige, dass die rekursiv definierte \definitionsverweis {Folge}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ \defeq} { \frac{ x_n + a/x_n }{2} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegen $\sqrt{a}$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ die Folge der \definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} { { \frac{ f_n }{ f_{n-1} } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass diese Folge in $\R$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und dass der Grenzwert $x$ die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {1 + x^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt. Berechne daraus $x$.

}
{} {Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.}

Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.


Zu zwei \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} \mathkor {} {x} {und} {y} {} heißt
\mathdisp {{ \frac{ x+y }{ 2 } }} { }
das \definitionswort {arithmetische Mittel}{.}


Zu zwei nichtnegativen \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} \mathkor {} {x} {und} {y} {} heißt
\mathdisp {\sqrt{ x \cdot y}} { }
das \definitionswort {geometrische Mittel}{.}





\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} in $\R$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mathl{x \in \R}{} besteht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathl{x > 1}{} eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Zeige, dass die Folge
\mathl{x^n,\, n \in \N}{,} \definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{} gegen $+ \infty$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {reellen Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{,} für die es sowohl eine \definitionsverweis {bestimmt}{}{} gegen $+ \infty$ als auch eine bestimmt gegen $- \infty$ divergente \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} gibt.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe Beispiele für \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {reelle Folgen}{}{} \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} mit
\mathbed {x_n \neq 0} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} und mit $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=0$ derart, dass die Folge
\mathdisp {\left( \frac{y_n}{x_n} \right)_{ n \in \N }} { }
\aufzaehlungdrei{gegen $0$ konvergiert, }{gegen $1$ konvergiert, }{divergiert.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es seien \mathkor {} {P = \sum_{ i = 0 }^{ d } a_{ i } x^{ i}} {und} {Q = \sum_{ i = 0 }^{ e } b_{ i } x^{ i}} {} \definitionsverweis {Polynome}{}{} mit $a_d, b_e \neq 0$. Man bestimme in Abhängigkeit von \mathkor {} {d} {und} {e} {,} ob die durch
\mathdisp {z_n = \frac{P(n)}{Q(n)}} { }
\zusatzklammer {für $n$ hinreichend groß} {} {} definierte \definitionsverweis {Folge}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{} oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} in $\R$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {reelle Folge}{}{} mit $x_n \in I_n$ für alle
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mathl{b > a > 0}{} positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} durch
\mathl{x_0=a}{,}
\mathl{y_0=b}{} und durch
\mathdisp {x_{n+1} = \text{ geometrisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { , }

\mathdisp {y_{n+1} = \text{ arithmetisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { . }
Zeige, dass
\mathl{[x_n,y_n]}{} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( \sqrt{n} \right) }_{ n \in \N }}{} \definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{} gegen $\infty$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {reelle Folge}{}{} mit
\mathl{x_n > 0}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass die Folge genau dann \definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{} gegen $+ \infty$ ist, wenn $\left( \frac{1}{x_n} \right)_{ n \in \N }$ gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Weihnachtsaufgabe}

Die folgende Aufgabe soll bis zum 4.1.2012 (getrennt von den anderen Aufgaben) abgegeben werden. Die erreichten Punkte fließen zusätzlich auf Ihr Punktekonto.


\inputaufgabe
{10}
{

In einem weihnachtlich geschmückten Raum befinden sich $n \geq 4$ Personen, die wichteln wollen. D.h. für jede Person $A$ muss eine weitere Person $B \neq A$ bestimmt werden, für die $A$ ein Geschenk besorgen soll\zusatzfussnote {Dabei soll jede Person genau ein Geschenk bekommen} {.} {.} Jede Person darf nur wissen \zusatzklammer {und weiß} {} {,} wen sie beschenken soll, und keine Person darf mehr wissen\zusatzfussnote {Dies soll auch bedeuten, dass für jede Person alle anderen Personen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit als Schenker in Frage kommen} {.} {.} Die Personen bleiben die ganze Zeit im Raum, sie schauen nicht weg oder Ähnliches. Es stehen allein Papier und Stifte zur Verfügung. Mischen ist erlaubt, d.h. man darf \anfuehrung{zufällige}{} Permutationen von optisch gleichen Objekten vornehmen, und diese sind nicht rekonstruierbar. Es darf gelost werden und dabei darf eine gezogene Information verdeckt gelesen werden. Zettel dürfen \zusatzklammer {auch heimlich} {} {} beschrieben werden.

Entwerfe ein einmalig durchzuführendes Verteilungsverfahren, das all diese Bedingungen erfüllt.

}
{} {}




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