Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 16/latex

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\setcounter{section}{16}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2+x-1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/100$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[0,1]} {[0,1[ } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel eines beschränkten \definitionsverweis {Intervalls}{}{} $I\subseteq \R$ und einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {I} {\R } {} derart, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ beschränkt ist, die Funktion aber kein \definitionsverweis {Maximum}{}{} annimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{} \maabbdisp {\tilde{f}} {\R} {\R } {} von $f$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} auf einem \definitionsverweis {reellen Intervall}{}{.} Die Funktion habe in den Punkten
\mathbed {x_1,x_2 \in I} {}
{x_1 < x_2} {}
{} {} {} {,} \definitionsverweis {lokale Maxima}{}{.} Zeige, dass die Funktion zwischen \mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {} mindestens ein \definitionsverweis {lokales Minimum}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme direkt, für welche $n \in \N$ die \definitionsverweis {Potenzfunktionen}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {x^n } {,} ein \definitionsverweis {Extremum}{}{} im Nullpunkt besitzen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von $\Q$ nach $\Q$ nicht gelten muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt{ { \frac{ 7n^2-4 }{ 3n^2-5n+2 } } }, \, n \in \N} { . }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme das Minimum der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2+3x-5 } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/200$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt[3]{ { \frac{ 27n^3+13n^2+n }{ 8n^3-7n+10 } } }, \, n \in \N} { . }

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.


Eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabb {f} {\R} {\R } {} heißt \definitionswort {gerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { f(-x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

Eine Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {} heißt \definitionswort {ungerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { -f(-x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.





\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass man jede \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{g+h }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer stetigen \definitionsverweis {geraden Funktion}{}{} $g$ und einer stetigen \definitionsverweis {ungeraden Funktion}{}{} $h$ schreiben kann.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.


Es sei $M$ eine Menge und \maabbdisp {f} {M} {M } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {Fixpunkt}{} der Abbildung.





\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {[a,b] } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} des \definitionsverweis {Intervalls}{}{}
\mathl{[a,b]}{} in sich. Zeige, dass $f$ einen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} besitzt.

}
{} {}



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