Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2+x-1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/100$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {[0,1]} {[0,1[ } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel eines beschränkten
\definitionsverweis {Intervalls}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer
\definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
derart, dass das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
von $f$ beschränkt ist, die Funktion aber kein
\definitionsverweis {Maximum}{}{}
annimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{} \maabbdisp {\tilde{f}} {\R} {\R } {} von $f$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {reellen Intervall}{}{.}
Die Funktion habe in den Punkten
\mathbed {x_1,x_2 \in I} {}
{x_1 < x_2} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {lokale Maxima}{}{.}
Zeige, dass die Funktion zwischen
\mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {}
mindestens ein
\definitionsverweis {lokales Minimum}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme direkt, für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Potenzfunktionen}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {x^n
} {,}
ein
\definitionsverweis {Extremum}{}{}
im Nullpunkt besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von $\Q$ nach $\Q$ nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt{ { \frac{ 7n^2-4 }{ 3n^2-5n+2 } } }, \, n \in \N} { . }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme das Minimum der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2+3x-5 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/200$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt[3]{ { \frac{ 27n^3+13n^2+n }{ 8n^3-7n+10 } } }, \, n \in \N} { . }
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.
Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
heißt \definitionswort {gerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(-x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
Eine Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
heißt \definitionswort {ungerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { -f(-x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass man jede
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{g+h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer stetigen
\definitionsverweis {geraden Funktion}{}{}
$g$ und einer stetigen
\definitionsverweis {ungeraden Funktion}{}{}
$h$ schreiben kann.
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.
Es sei $M$ eine Menge und
\maabbdisp {f} {M} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Fixpunkt}{} der Abbildung.
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {[a,b]
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
des
\definitionsverweis {Intervalls}{}{}
\mathl{[a,b]}{} in sich. Zeige, dass $f$ einen
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
besitzt.
}
{} {}
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