Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 17

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne die ersten fünf Glieder des Cauchy-Produkts der beiden konvergenten Reihen

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\,\,{\text{ und }}\,\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}.$

Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.

Aufgabe

Es seien ${}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ und ${}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}$ zwei absolut konvergente Potenzreihen in ${}x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}{\text{ mit }}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$

gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}x\in \mathbb {R}$ , ${}\vert {x}\vert <1$. Bestimme (in Abhängigkeit von ${}x$) die Summen der beiden Reihen

$\sum _{k=0}^{\infty }x^{2k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }x^{2k+1}.$

Aufgabe

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten ${}c_{i}$ zu den Potenzen ${}x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},x^{4}$ in der dritten Potenz

${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)}^{3}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Funktion

$\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$

nicht nach oben beschränkt ist und dass ${}0$ das Infimum (aber nicht das Minimum) der Bildmenge ist.

Aufgabe

Zeige, dass für die Exponentialfunktionen

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a^{x},$

die folgenden Rechenregeln gelten (dabei seien ${}a,b\in \mathbb {R} _{+}$ und ${}x,y\in \mathbb {R}$).

1. ${}a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}\,.$

2. ${}a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}}\,.$

3. ${}(a^{x})^{y}=a^{xy}\,.$

4. ${}(ab)^{x}=a^{x}b^{x}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis ${}b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.

1. Es ist ${}\log _{b}{\left(b^{x}\right)}=x$ und ${}b^{\log _{b}(y)}=y$, das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.
2. Es gilt ${}\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z$
3. Es gilt ${}\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y$ für ${}u\in \mathbb {R}$.
4. Es gilt

   ${}\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.$

Aufgabe

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich ${}2\%$. Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?

Aufgabe

Es seien ${}b,d>0$ und ${}d$ fixiert. Zeige

${}\operatorname {lim} _{b\rightarrow 0}\,b^{d}=0\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Koeffizienten ${}c_{0},c_{1},\ldots ,c_{5}$ der Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$, die das Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen ${}x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},x^{4},x^{5}$ in der vierten Potenz

${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)}^{4}\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Für ${}N\in \mathbb {N}$ und ${}x\in \mathbb {R}$ sei

${}R_{N+1}(x)=\exp x-\sum _{n=0}^{N}{\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\,$

das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für ${}\vert {x}\vert \leq 1+{\frac {1}{2}}N$ die Restgliedabschätzung

${}\vert {R_{N+1}(x)}\vert \leq {\frac {2}{(N+1)!}}\vert {x}\vert ^{N+1}\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von

$\exp 1.$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Exponentialfunktion die Eigenschaft besitzt, dass für jedes ${}d\in \mathbb {N}$ die Folge

${\left({\frac {\exp n}{n^{d}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

bestimmt divergent gegen ${}+\infty$ ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion ${}\neq 0$, die die Gleichung

${}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt. Zeige, dass ${}f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein ${}b>0$ mit ${}f(x)=b^{x}$ gibt.

Fußnoten

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