Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 17

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne die ersten fünf Glieder des Cauchy-Produkts der beiden konvergenten Reihen


Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.


Aufgabe

Es seien und zwei absolut konvergente Potenzreihen in . Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

gegeben ist.


Aufgabe

Sei  , . Bestimme (in Abhängigkeit von ) die Summen der beiden Reihen


Aufgabe

Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der dritten Potenz


Aufgabe

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Funktion

nicht nach oben beschränkt ist und dass das Infimum (aber nicht das Minimum) der Bildmenge ist.[1]


Aufgabe

Zeige, dass für die Exponentialfunktionen

die folgenden Rechenregeln gelten (dabei seien und ).


Aufgabe

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis die folgenden Rechenregeln erfüllen.

  1. Es ist und , das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis .
  2. Es gilt
  3. Es gilt für .
  4. Es gilt


Aufgabe

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?


Aufgabe

Seien . Zeige




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Koeffizienten der Potenzreihe , die das Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der vierten Potenz


Aufgabe (5 Punkte)

Für und sei

das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für die Restgliedabschätzung

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Exponentialfunktion die Eigenschaft besitzt, dass für jedes die Folge

bestimmt divergent gegen ist.[2]


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion , die die Gleichung

für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.




Fußnoten
  1. Aus der Stetigkeit folgt daraus, dass das Bild der reellen Exponentialfunktion ist.
  2. Man sagt daher, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion.



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