Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die ersten fünf Glieder des
\definitionsverweis {Cauchy-Produkts}{}{}
der beiden
\definitionsverweis {konvergenten Reihen}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^2 } } \text{ und } \sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^3 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich klar, dass die \definitionsverweis {Partialsummen}{}{} des \definitionsverweis {Cauchy-Produkts}{}{} von zwei \definitionsverweis {Reihen}{}{} nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {\sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n }} {und} {\sum _{ n= 0}^\infty b_n x^{ n }} {}
zwei
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihen}{}{} in $x \in \R$. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{}
der beiden Reihen durch
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n x^{ n } \text{ mit } c_n = \sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {x \in \R} {,}
{\betrag { x } <1} {}
{} {} {} {.}
Bestimme
\zusatzklammer {in Abhängigkeit von $x$} {} {}
die
\definitionsverweis {Summen}{}{}
der beiden
\definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathdisp {\sum_{k=0 }^\infty x^{2k} \text{ und } \sum_{k=0 }^\infty x^{2k+1}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n }} { }
eine
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.} Bestimme die Koeffizienten $c_i$ zu den Potenzen
\mathl{x^0,x^1,x^2,x^3,x^4}{} in der dritten Potenz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n x^{ n }
}
{ =} { { \left( \sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n } \right) }^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die durch die \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} definierte reelle Funktion \maabbeledisp {\exp} {\R} {\R } {x} { \exp x } {,} nicht \definitionsverweis {nach oben beschränkt}{}{} ist und dass $0$ das \definitionsverweis {Infimum}{}{} \zusatzklammer {aber nicht das \definitionsverweis {Minimum}{}{}} {} {} der \definitionsverweis {Bildmenge}{}{} ist.\zusatzfussnote {Aus der Stetigkeit folgt daraus, dass $\R_+$ das \definitionsverweis {Bild}{}{} der reellen Exponentialfunktion ist} {.} {}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Exponentialfunktionen}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {a^x
} {,}
die folgenden Rechenregeln gelten
\zusatzklammer {dabei seien
\mathl{a,b \in \R_+}{} und
\mathl{x,y \in \R}{}} {} {.}
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{x+y}
}
{ =} {a^x \cdot a^y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{-x}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a^x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a^x)^y
}
{ =} { a^{xy}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(ab)^x
}
{ =} { a^x b^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Logarithmen zur Basis}{}{} $b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.
\aufzaehlungvier{Es ist
\mathkor {} {\log_b { \left( b^x \right) } =x} {und} {b^{\log_b(y)} =y} {,}
das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur
\definitionsverweis {Exponentialfunktion zur Basis}{}{} $b$.
}{Es gilt
\mathl{\log_{ b } (y \cdot z) = \log_{ b } y + \log_{ b } z}{}
}{Es gilt
\mathl{\log_{ b } y^u = u \cdot \log_{ b } y}{} für
\mathl{u \in \R}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\log_{ a } y
}
{ =} { \log_{ a } { \left( b^{ \log_{ b } y } \right) }
}
{ =} {\log_{ b } y \cdot \log_{ a } b
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich $2 \%$. Nach welchem Zeitraum \zusatzklammer {in Jahren und Tagen} {} {} haben sich die Preise verdoppelt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b,d
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $d$ fixiert. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ b \rightarrow 0 } \, b^d
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne die Koeffizienten
\mathl{c_0,c_1 , \ldots , c_5}{} der Potenzreihe
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_nx^n}{,} die das
\definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{} der
\definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{} mit der
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n }} { }
eine
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.} Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen $x^0,x^1,x^2,x^3,x^4,x^5$ in der vierten Potenz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n x^{ n }
}
{ =} { { \left( \sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n } \right) }^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_{N+1} (x)
}
{ =} { \exp x - \sum_{n = 0}^N \frac{ x^n}{n!}
}
{ =} { \sum_{n = N+1}^\infty \frac{ x^n}{n!}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \stichwort {Restglied} {} der
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{.}
Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ \leq }{ 1 + \frac{1}{2}N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die \stichwort {Rest\-gliedabschätzung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { R_{N+1}(x) }
}
{ \leq} { \frac{2}{(N+1)!} \betrag { x }^{N+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von
\mathdisp {\exp 1} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die durch die
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{}
definierte
\definitionsverweis {reelle Exponentialfunktion}{}{}
die Eigenschaft besitzt, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( \frac{ \exp n }{n^d} \right) }_{ n \in \N }} { }
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{}
gegen $+ \infty$ ist\zusatzfussnote {Man sagt daher, dass die Exponentialfunktion \stichwort {schneller wächst} {} als jede Polynomfunktion} {.} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
$\neq 0$, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x+y)
}
{ =} { f(x) \cdot f(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt. Zeige, dass $f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{b^x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
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