Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 17/latex

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

\setcounter{section}{17}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne die ersten fünf Glieder des \definitionsverweis {Cauchy-Produkts}{}{} der beiden \definitionsverweis {konvergenten Reihen}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^2 } } \text{ und } \sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^3 } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich klar, dass die \definitionsverweis {Partialsummen}{}{} des \definitionsverweis {Cauchy-Produkts}{}{} von zwei \definitionsverweis {Reihen}{}{} nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {\sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n }} {und} {\sum _{ n= 0}^\infty b_n x^{ n }} {} zwei \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihen}{}{} in $x \in \R$. Zeige, dass das \definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{} der beiden Reihen durch
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n x^{ n } \text{ mit } c_n = \sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}} { }
gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathbed {x \in \R} {,}
{\betrag { x } <1} {}
{} {} {} {.} Bestimme \zusatzklammer {in Abhängigkeit von $x$} {} {} die \definitionsverweis {Summen}{}{} der beiden \definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathdisp {\sum_{k=0 }^\infty x^{2k} \text{ und } \sum_{k=0 }^\infty x^{2k+1}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n }} { }
eine \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.} Bestimme die Koeffizienten $c_i$ zu den Potenzen
\mathl{x^0,x^1,x^2,x^3,x^4}{} in der dritten Potenz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n x^{ n } }
{ =} { { \left( \sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n } \right) }^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die durch die \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} definierte reelle Funktion \maabbeledisp {\exp} {\R} {\R } {x} { \exp x } {,} nicht \definitionsverweis {nach oben beschränkt}{}{} ist und dass $0$ das \definitionsverweis {Infimum}{}{} \zusatzklammer {aber nicht das \definitionsverweis {Minimum}{}{}} {} {} der \definitionsverweis {Bildmenge}{}{} ist.\zusatzfussnote {Aus der Stetigkeit folgt daraus, dass $\R_+$ das \definitionsverweis {Bild}{}{} der reellen Exponentialfunktion ist} {.} {}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für die \definitionsverweis {Exponentialfunktionen}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {a^x } {,} die folgenden Rechenregeln gelten \zusatzklammer {dabei seien
\mathl{a,b \in \R_+}{} und
\mathl{x,y \in \R}{}} {} {.} \aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{x+y} }
{ =} {a^x \cdot a^y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{-x} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ a^x } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a^x)^y }
{ =} { a^{xy} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(ab)^x }
{ =} { a^x b^x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Logarithmen zur Basis}{}{} $b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen. \aufzaehlungvier{Es ist \mathkor {} {\log_b { \left( b^x \right) } =x} {und} {b^{\log_b(y)} =y} {,} das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur \definitionsverweis {Exponentialfunktion zur Basis}{}{} $b$. }{Es gilt
\mathl{\log_{ b } (y \cdot z) = \log_{ b } y + \log_{ b } z}{} }{Es gilt
\mathl{\log_{ b } y^u = u \cdot \log_{ b } y}{} für
\mathl{u \in \R}{.} }{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\log_{ a } y }
{ =} { \log_{ a } { \left( b^{ \log_{ b } y } \right) } }
{ =} {\log_{ b } y \cdot \log_{ a } b }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich $2 \%$. Nach welchem Zeitraum \zusatzklammer {in Jahren und Tagen} {} {} haben sich die Preise verdoppelt?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b,d }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ b \rightarrow 0 } \, b^d }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne die Koeffizienten
\mathl{c_0,c_1 , \ldots , c_5}{} der Potenzreihe
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_nx^n}{,} die das \definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{} der \definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{} mit der \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n }} { }
eine \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.} Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen $x^0,x^1,x^2,x^3,x^4,x^5$ in der vierten Potenz
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n x^{ n } = { \left( \sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n } \right) }^4} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Für $N \in \N$ und $x \in \R$ sei
\mathdisp {R_{N+1} (x) = \exp x - \sum_{n=0}^N \frac{ x^n}{n!} = \sum_{n=N+1}^\infty \frac{ x^n}{n!}} { }
das \stichwort {Restglied} {} der \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{.} Zeige, dass für $\betrag { x } \leq 1 + \frac{1}{2}N$ die \stichwort {Rest\-gliedabschätzung} {}
\mathdisp {\betrag { R_{N+1}(x) } \leq \frac{2}{(N+1)!} \betrag { x } ^{N+1}} { }
gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von
\mathdisp {\exp 1} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die durch die \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} definierte \definitionsverweis {reelle Exponentialfunktion}{}{} die Eigenschaft besitzt, dass für jedes $d \in \N$ die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {\left( \frac{ \exp n }{n^d} \right)_{ n \in \N }} { }
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{} gegen $+ \infty$ ist\zusatzfussnote {Man sagt daher, dass die Exponentialfunktion \stichwort {schneller wächst} {} als jede Polynomfunktion} {.} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} $\neq 0$, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x+y) }
{ =} { f(x) \cdot f(y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $x,y \in \R$ erfüllt. Zeige, dass $f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein $b>0$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{b^x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




<< | Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes (PDF englisch)

Zur Vorlesung (PDF)